由一道高考题引出的思考

张巍

(南京市第十三中学 江苏 南京 210008)

【题目】(2011年高考福建理科综合卷第22题)如图1(a)，在x>0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O处，以初速度v0沿x轴正方向射入，粒子的运动轨迹见图(a)，不计粒子的重力.

(1)求该粒子运动到y=h时的速度大小v；

图1

1)求粒子在一个周期T内，沿x轴方向前进的距离s；

2)当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图(c)所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A，并写出y-t的函数表达式.

分析：该题考查动能定理、洛伦兹力、带电粒子在电场、磁场中的运动等知识.题中有两幅图，尤其是图1(b),许多考生感到陌生，茫然不知所措.下面将带电粒子进入复合场后的各种运动图景展示清楚,以便再遇到此类问题时，可以胸有成竹，轻松解题.

为了能借助计算机作图，故将原题中的物理量赋于数值，设电场强度E=103N/C，磁感应强度B=1.0 T，带电粒子质量m=10-5kg，电荷量q=10-2C.下面让带电粒子沿x轴正方向以不同大小的初速度v0射入复合场，观察其运动图景.

(1)设带电粒子以初速度u，从坐标原点，沿x轴正方向射入复合场时，恰好洛伦兹力与电场力大小相等，则有

quB=qE

代入数据得

u=103m/s

即v0=u时，由于电场力与洛伦兹力平衡，故粒子做匀速运动，轨迹为一条直线.

(2)如果v0=0，可设想为带电粒子在x轴上有±u的大小相等，方向相反的两个分速度.其中磁场对+u的洛伦兹力与电场力平衡，这一个分运动为以u沿x轴正方向的匀速运动，而磁场对-u的洛伦兹力作为向心力，因此，另一个分运动为匀速圆周运动，其半径可由

得

代入数据得

R1=1 m

角速度

代入数据得

ω=103rad/s

圆心O′ 沿x轴正向匀速运动,如图2所示,其坐标为O′(ut，-R1).

图2

带电粒子P除随O′ 匀速平动外，还绕O′ 做逆时针匀速圆周运动(图2).带电粒子P点运动方程为

x=ut-R1sinωt

y=R1(cosωt-1)

消去t后，可得轨迹方程(摆线)为

代入数据得

轨迹如图3中线Ⅰ.

图3

由于在y=0处P随O′ 的牵连速度与绕O′ 的相对速度大小相等、方向相反，绝对速度为零，所以,轨迹上y=0处为尖顶状.

代入数据得

R2=0.5 m

角速度

代入数据得

ω=103rad/s

P点运动方程

x=ut-R2sinωt

y=R2(cosωt-1)

轨迹方程

代入数据得

轨迹如图3中线Ⅱ.

图4

半径为

代入数据得

R3=0.5 m

角速度为

代入数据得

ω=103rad/s

P点运动方程

x=ut+R3sinωt

y=R3(1-cosωt)

轨迹方程

代入数据后(图5线Ⅰ)得

(5)若v0=2u，可将v0分解为两个+u.圆心O′ 仍然以u沿x轴正向做匀速运动，P点除随O′ 向右平动外，还绕O′ 逆时针转动.

半径为

代入数据得

R4=1 m

角速度为

代入数据得

ω=103rad/s

P点运动方程

x=ut+R4sinωt

y=R4(1-cosωt)

轨迹方程

代入数据后(图5线Ⅱ)得

在y=2 m处，由于牵连速度与相对速度大小相等、方向相反，绝对速度为零，轨迹又呈尖顶状.

(6)若v0>2u，如v0=2.5u，则可将v0分解为u和1.5u.P点绕O′ 点做逆时针圆周运动的半径为

代入数据得

R5=1.5 m

角速度为

代入数据得

ω=103rad/s

P点运动方程

x=ut+R5sinωt

y=R5(1-cosωt)

轨迹方程为

代入数据后(图5线Ⅲ)得

图5

带电粒子进入复合场的运动情境弄清楚后，再来解此高考题便一清二楚.

解析：

(1)由于只有电场力做功 ，用动能定理

可解得

(2)

2)图1(c)中轨迹线对应于v0>u，粒子绕O′ 做圆周运动，在y轴上的投影为简谐运动，振幅等于半径

简谐振动方程为

y=R(1-cosωt)=