一个传统力学问题的新探讨

林辉庆

(杭州市余杭高级中学 浙江 杭州 311100)

1 一道传统的力学题

图1所示为某钢铁厂的钢锭传送装置，斜坡长L=20 m，高h=2 m，斜坡上紧排着一排滚筒．长l=8 m，质量m=1×103kg的钢锭ab放在滚筒上，钢锭与滚筒间的动摩擦因数为μ=0.3．工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢锭沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v0=4 m/s．假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动．取当地的重力加速度g=10 m/s2．试求钢锭从坡底(如图1所示位置)由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少需要工作的时间．

图1

2 常见解析

斜坡与水平面夹角θ的正弦

代入数据得

sinθ=0.1

初始阶段钢锭做加速运动，加速度为

代入数据得

a1=2 m/s2

经过时间t1，钢锭的速度与滚筒边缘的线速度相等

代入数据得

t1=2 s

t1时间钢锭的位移为

代入数据得

x1=4 m

接着钢锭做匀速运动．为使电动机的工作时间最小，在钢锭的b端还没有到达坡顶时关闭电动机，钢锭由于惯性向上冲到坡顶，整个过程的v-t图线如图2所示．

图2 钢锭做匀速运动的v-t图线

钢锭上冲的加速度大小为

代入数据得

a2=4 m/s2

钢锭上冲的距离为

代入数据得

x2=2 m

钢锭匀速运动的位移为

x0=L-l-x1-x2

代入数据得

x0=6 m

钢锭匀速运动的时间为

代入数据得

t0=1.5 s

电动机最小工作时间为

t小=t1+t0

代入数据得

t小=3.5 s

3 来自学生的新探讨

上题是中学物理常见的传送带问题的变式，就解题思路来说，它是个老问题．上述解答一直被中学师生所认同，各种教学参考资料和中学物理教学杂志，也都没有对此提出过异议．在2011学年的高三复习中，笔者的一名学生提出了不同的观点．

这个学生指出，把图2中t1～t1+t0时间内的匀速运动，改为电动机关闭、启动、关闭、启动……的变速运动，让钢锭在惯性的作用下运动更多的路程，电动机的启动时间会更小．

设“关闭、启动”n次，电动机关闭后，钢锭速度减小到vn，立即重新启动，钢锭的v-t图线如图3所示．由运动学公式有

得到

图3 重新启动钢锭的v-t图线

在不断减速、加速的阶段，电动机开动的总时间为

(1)

取n=3，得到

取n=4，得到

取n=5，得到

可见，只要电动机关闭、开动的次数n≥4，则t0n

把式(1)化为

(2)

从式(2)看出，n越大，t0n越小．令n→∞，得到t0n的最小值

代入数据得

t0小=1 s

(3)

图4 钢锭的平均速度图线

到此，另有学生提出，在钢锭的加速阶段，即在图2中的0～t1时间，通过电动机关闭、启动的运行方式，利用惯性滑行，是否也能减小电动机总的启动时间？如图5，在速度还没有达到v0时，电动机的一个关闭、启动“动作”，使速度减小Δv后，再加速到原来的值，与速度达到v0后，电动机的一个关闭、启动“动作”，速度减小Δv后，再加速到与原来的值相比，两者所用的时间Δt相同，但钢锭的位移(v-t图线下的面积)是后者大．反之，要使速度还没有达到v0时电动机的一个关闭、启动的“动作”，与速度达到v0后电动机的一个关闭、启动“动作”，钢锭的位移相同，所用的时间一定是后者小．所以，要使电动机总的启动时间最小，应该让钢锭从静止开始一直加速到v0，然后，让电动机不断地关闭、启动，再在适当的时候关闭电动机，使钢锭减速运动到坡顶时速度刚好为零．

图5

这样，要把钢锭从坡底运送到坡顶，电动机的最小工作时间应为t小=t1+t0小=3 s，而不是3.5 s．

随之，又有学生提出了这样一个问题，采用不断关闭、开动的方式，能减小电动机总的启动时间，那么，能否减小电动机做的总功呢？

设在一个关闭、启动“动作”中，钢锭加速的时间为Δt，钢锭的位移为Δx，由运动学公式有

v0-vn=a1Δt

(4)

(5)

钢锭对滚筒的滑动摩擦力为μmg，滚筒做匀速转动，电动机对钢锭做的功

ΔW′=μmgv0Δt

(6)

由式(4)～(6)及a1和a2的表达式得到

(7)

在不断的减速、加速阶段，电动机做的总功

(8)

如果钢锭速度达到v0后做匀速运动，钢锭作用于滚筒的是静摩擦力，大小为mgsinθ，电动机做的功为

W=mgsinθx0

(9)

联立式(8)、(9)得

(10)

由于

所以有

可见，采用不断关闭、启动电动机的方式，电动机做的总功不但不会减小，反而增加了．这是容易理解的，钢锭匀速运动，电动机做的功等于钢锭重力势能的增加；电动机不断地关闭和启动，钢锭与滚筒之间有相对运动，电动机做的总功等于钢锭重力势能的增加与钢锭与滚筒之间摩擦产生的热量之和．

需要说明的是，让电动机不断地关闭、启动很多次，在实际操作上是不可取的，但上述探讨仍是有意义的．在理论上，它使我们认识到，要使物体从一个地方移动到另一个地方，尽量利用惯性滑行，能减小外力的作用时间．在教学上，这样的探讨，能培养学生的探究精神和探究能力．

4 教学启示

这个事例对教学的启示是，教师由于反复地接触学科知识和学科问题，容易形成思维定势，容易局限于常规的理解，从而失去发现问题的敏锐眼光，相反，初学的学生，思维和认知往往更加敏锐，他们会基于自己的知识背景，从更一般的角度思考和分析学科问题．教师的观点与学生的观点相比，有时教师的观点较为片面甚至是错误的，而学生的观点则更具有创造性．所以,在教学中教师应该充分发扬民主，为学生发表各种观点创造条件，并把学生的观点当做最重要的教学资源，鼓励不同观点交锋、碰撞，使课堂不断闪烁智慧的火花，使教学充满生命的活力．