对一道人船模型习题的剖析

陈克超 刘 杰

(重庆市长寿区长寿中学 重庆 401220) (山东省威海市第一中学 山东 威海 264200)

【例1】如图1所示，质量为2m的木板停在光滑的水平面上，其左端有质量为m，可视为质点的遥控电动赛车，由静止出发，经过时间t后关闭电动机，此时赛车速度为v1，赛车在木板上滑行一段距离后，恰好停在木板的右端.若通电后赛车以恒定功率P行驶，赛车在运动过程中受到木板的摩擦阻力恒为f，不计空气阻力.求:

(1)赛车由静止出发经过时间t后木板速度v2的大小和方向；

(2)赛车由静止出发在t时刻与木板左端之间的距离L1；

(3)木板长度L.

图1

解析:(1)对赛车和木板组成的系统，由动量守恒定律

mv1-2mv2= 0

解得

方向水平向左.

(2)对赛车和木板组成的系统，由能量守恒定律

(3)设赛车恰好停在木板的右端时，赛车和木板的共同速度为v，则以赛车和木板组成的系统为研究对象，对全过程，由动量守恒定律

3mv= 0

得

v= 0

由能量守恒定律

得

讨论：(1)赛车的牵引力是外力还是内力？

由于通电后赛车以恒定功率P行驶，可以判断出在关闭电动机之前赛车的牵引力是变力，导致赛车或木板的合外力均为变力，不能用动力学观点求解，需结合动量和能量观点来解答.赛车的牵引力是外力还是内力呢？如果是外力，车和木板系统外力的合力不为零，系统动量不守恒.从情境来看可以类比人船模型求解，则牵引力属于赛车系统内力.此时赛车和人一样不能看作质点，是质点系，其力学特征比较复杂.人船模型中的人(或车)能否看作质点呢？

(2)赛车和木板之间什么力做功，木板怎样获得动能？

(3)如何等效处理人船模型，其等效方法有哪些？

这是人船模型在动量守恒问题中的特殊用法，涉及位移问题时，运用习题平均动量守恒来求解.

图2

人船模型的能量问题中，如果不能简单化作两个质点间的相互作用，则等效为反冲问题，无需具体分析是什么内力做功，只需运用系统能量守恒的观点来分析处理，正如反冲核的情形，核能转化为系统的动能.

(4)人船模型拓展分析中能化作两个质点组成的系统又如何处理呢？

如果人船模型中能化作两个质点组成的系统，其相互作用的内力有明确的力做功，可以分别对某一质点运用能量关系求解，也可用系统能量守恒的观点求解；涉及位移问题时，常用“系统平均动量守恒”予以解决.

【例2】如图3所示，质量M=2 kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1 kg的小球通过长为L=0.5 m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接.小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，滑块可在水平轨道上自由滑动，开始轻杆处于水平状态.现给小球一个竖直向上足够大的初速度v0=4 m/s，g取10 m/s2.试求:

(1)小球通过最高点时的速度大小；

(2)小球从开始到最高点过程中，轻杆对小球所做的功；

(3)在满足(1)的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离.

图3

解析：(1)设小球能通过最高点，且此时的速度为v1，滑块的速度为v2.在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向上动量守恒.以水平向右的方向为正方向，有

0=mv1-Mv2

在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则

代入数据得v1=2 m/s

(2)小球从开始到最高点过程中，对小球由动能定理得

代入数据得W弹=-1 J

(3)设小球击中滑块右侧轨道的位置与小球起始点的距离为s1，滑块向左移动的距离为s2，等效为人船模型有

0=ms1-Ms2

其中小球在水平方向相对于滑块运动的位移为2L,其几何关系有

s1+s2=2L

联立求解得