对流体阻力和收尾速度的案例教学

戴加成 黄 雄

(江阴市南菁高级中学 江苏 无锡 214400)

1 引言

案例教学法自1921年美国哈佛商学院倡导用于经济管理教育以来，已被广泛应用到许多学科的教学中.教学常以社会或身边发生的自然现象或事例为案例.学生运用抽象、归纳和近似等各种方法，提出问题，设定描述事例的物理量，建立模型，应用所学的物理知识和数学工具求解，最后对求解的结果进行讨论或实验验证.

案例:当物体在诸如空气和水那样的流体中运动时，流体会对该物体产生一个与它的运动方向相反的流体阻力.这种力取决于物体的运动、特性以及运动所通过的流体的性质.比如,使一个乒乓球自由落下.开始时，乒乓球的速度非常小，因此空气阻力也很小.此时向下的重力比向上的空气阻力大得多，随着乒乓球的速度不断增加,空气阻力也增大,很快便与重力相等.以后乒乓球以恒定速度运动，该恒定速度叫做收尾速度.

问题1：描述乒乓球下落运动中的受力情况和运动情况.

问题2：试定性作出它的速度图像、位移图像.

问题3：影响乒乓球下落运动所受阻力的因素.

问题4：认识落体的收尾速度在讨论流体阻力中的作用.粗略测定乒乓球在空气中下落的收尾速度.

问题5：落体所受空气阻力与速度的一次方或二次方成正比，运用控制变量法，进行研讨.

问题6：关于空气阻力表达式的猜想，设计实验加以验证.实验室可提供多个乒乓球、气球(质量m均为0.9 g，质量可调，气球半径r可控制)、塑料球(空心)、秒表(包括电子秒表)、钢卷尺(包括20 m的皮卷尺)……

问题7：建立一个物理模型，探究运动物体所受空气阻力的表达式.

问题8：测定空气中落体的收尾速度你有何好的建议.气球收尾速度与乒乓球收尾速度能统一到一个公式里吗？

问题9：搜集相关的物理、数学、科普资料评价或拓展自己在本案例中得到的成果.

2 背景资料[1]①

球体在流体中运动，考虑到流体的粘滞性.根据斯托克斯公式

f=6πηrv=b′v

(1)

式中r和v分别是球半径和速度，η是粘滞系数，f为球在流体中受到的粘滞阻力.

乒乓球的收尾速度为

代入数据得

v=3.9×103m/s

式中乒乓球的质量m=2.7×10-3kg，半径r=0.02 m，空气的粘滞系数η=1.8×10-5Pa·s.这么大的速度，显然是不符合实际的.

事实上，乒乓球下落运动中粘滞阻力不是主要的.当乒乓球速度足够大时，它上方产生气流涡旋，所以，上方的气压便小于下方气压，压强差构成运动物体下落的阻力，叫做压差阻力.这时粘滞阻力和压差阻力同时存在，但压差阻力是主要的.

设想若有一截面积为A的圆柱体，在流体中以速度v运动，则在Δt时间内，圆柱体前方有体积为AvΔt的流体被排开，如图1所示.这些流体得到的动能为

图1

根据动能定理，被排开的流体的动能可以认为是圆柱体施于流体的力对流体做功的结果，其功为W=FvΔt，由W=ΔEk得到

再根据牛顿第三定律，流体对圆柱体的反作用力，即为圆柱体在运动中所受的阻力，记为f.考虑到，阻力的大小与运动物体表面的形状及表面的光滑程度有关，通常把阻力写成

(2)

在流体力学中有一个很重要的无量纲量——雷诺数Re.若流体的粘滞系数为η，密度为ρ，流速为v，当流经直径为d的管道或障碍物时，雷诺数定义为

(3)

实验表明，当雷诺数Re≈103～105时，阻力系数C≈0.4，几乎与Re(η)无关，流体阻力f可用式(2)表示；当雷诺数Re<1时，流体阻力f与Re(η)有关，可用式(1)表示.

在空气中下落的乒乓球由式(3)估算一下雷诺数，取空气的密度ρ=1.29 kg/m3,运动速度v=1 m/s,则

Re=2.9×103

斯托克斯公式不再适用，应用式(2).乒乓球下落运动的空气阻力应与速度的二次方成正比，而不是一次方成正比.令乒乓球收尾速度为v∞，则

(4)

代入数据得

v∞=9.04 m/s

乒乓球在空气中的收尾速度约9 m/s，可用简单的实验加以验证.

先对乒乓球的运动学量进行解算.选释放点为坐标原点，竖直向下为x轴正向，根据牛顿第二定律有

(5)

将式(2)代入式(5)，分离变量，两边积分

得到速度与时间的函数关系

(6)

图2

图2为乒乓球在有无空气阻力时，下落运动速度图像的对比,图中自由落体图线

g(x)=9.8x

有空气阻力时的图线

从图2可知，当速度大于6 m/s,两者已有明显的时间差.

将式(6)改写成

分离变量，并两边积分(加初始条件)，得到位移与时间关系

(7)

代入乒乓球的相关参数，得到

图3为乒乓球在有无空气阻力情况下，下落运动的位移图像对比，图3中自由落体图线

f(x)=4.9x2

有空气阻力时位移随时间的图线为

下落高度为10 m时，时间差有0.3 s.

图3

我们在实验楼内院，标定6个高度，用秒表测量不同高度的下落时间，记录表1.作为对比，第一列是实际测量时间，第二列是自由落体时间，第三列是有阻力下落的理论值.图4是相关的位移图像,图4中自由落体图线

g(x)=4.9x2

有空气阻力时的图线

表1 乒乓球下落时测量的数据

图4

乒乓球下落高度与时间的实验图线表明，它在空气中下落的收尾速度应为9～10 m/s.篮球的质量m=0.6 kg，直径d=0.25 m，由式(4) 可计算出篮球下落的收尾速度为

高空跳伞者通过改变其身体的方向和形状来增大或减小他们的收尾速度.当他们向水平方向张开双臂，就如同张着翅膀的鹰下落时的样子，他们的最小收尾速度大约是60 m/s，读者不妨估算一下.这些测算下落物体的收尾速度与公认值基本是一致的.

图5是从理论上得到的乒乓球下落运动的速度图像和位移图像，其中自由落体:速度图线r(x)=9.8x,位移图线s(x)=4.9x2.

阻力与速度一次方成正比:速度图线

位移图线

图5

阻力与速度二次方成正比:速度图线

位移图线

3 案例的实施

本案例在运动学、牛顿运动定律学习结束后，分2学时完成.

(1)呈现案例

定性描述：乒乓球无初速度释放后的运动，作出它运动的速度图像、位移图像.

观察与猜想：乒乓球与金属小球在高度2 m以下，自由释放，几乎同时落地.在更高的高度下情况如何？

(2)分析和讨论案例

实验与推测：空气阻力和收尾速度的关系；空气阻力与哪些因素有关？

设计实验：应用控制变量法，研究气球的收尾速度与质量的关系.若

则是收尾速度与质量成正比；若

则收尾速度与质量的平方根成正比.

建立阻力表达式模型：常见的用圆柱体，得到

在案例讨论中，居核心地位的是解决案例中所包含的疑难问题或作出解决问题的种种备选方案.诸如，乒乓球的变加速运动以及它所受的空气阻力如何处理，教科书上没有现成的理论；空气阻力的表达式需要经过猜想，再用实验进行验证等.

(3)分组讨论和实验并得出结论

这是在第二学时进行，学生已有了较充分的准备，包括流体阻力的知识、实验方案器材甚至数学微积分等各个方面.乒乓球接近收尾速度要在2 s(高度10 m)以后，气球接近收尾速度可控制在1 s(高度2.5 m)以内.用秒表测量从某高度的下落时间，通过位移图像计算落体的收尾速度只能是粗略的.如果能用数码相机借助一些抓图、图像编辑软件，学生就可以制作频闪照片，较准确地测定落体的收尾速度.得到了空气阻力的表达式，就能定性、半定量甚至量化研究落体的运动.

本案例也可在大学低年级学生中开展研究.

4 本案例的价值

金属小球、乒乓球、气球的下落运动过程中，空气阻力的作用依次凸显出来，将自然事件中的真实情境引入课堂，通过对这些生活事例的分析、研究和讨论，可以很有效地调动起学生探索自然、理解自然的兴趣与热情.

本案例能够在运用运动学、动力学知识的过程中，让学生体验科学研究的过程与方法，培养学生良好的科学态度.对于流体阻力表达式的探究，落体收尾速度自主实验的设计都具有挑战性.案例不同于平时的课本教学，没有现成理论的直接套用；也不同于课后习题，没有已知条件，思维是发散的、开放的，这些正是案例教学的魅力之处.

参考文献

1 赵凯华,罗蔚茵.新概念物理教程:力学.北京:高等教育出版社,1995