Orlicz空间中的Zbǎganu常数

许 晶,苑小磊

(通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002)

1 预备知识

令φ为N函数，在测度空间(Ω,∑,u)中生成的Orlicz空间标记为Lφ(u)范数有Luxemburg范数和Orlicz范数，其中Ω可以取[0,1]，N，R+．当Ω取N时，我们把生成的Orlicz空间标记为Lφ．最后，我们给出一些文中常用的记法：

2 主要结果

定理1 设X为Banach空间，则J(X)<2当且仅当CZ(X)<2．

证明 必要性 文[1]中作者证明了对于任何非平凡的Banach空间X，都有

另一方面，由CZ(X)和CNJ(X)的定义显然可知CZ(X)≤CNJ(X)，因此可得

由J(X)<2，可知CZ(X)<2．

充分性 对任何Banach空间X，有

(1)

事实上，当x,y∈S(X)时，

[min‖x+y‖,‖x-y‖]2≤
‖x+y‖×‖x-y‖≤
CZ(X)(‖x‖2+‖y‖2)=2CZ(x)

这就证明了(1)式．因此，当CZ(X)<2时，由(1)式可知J(X)<2．

推论1Lφ自反当且仅当Lφ一致非方，当且仅当CZ(Lφ)<2．

证明 由定理1和文[2]中的结果容易证得结论成立．

引理1 设φ为N函数，则下列不等式成立:

①当空间被赋予Luxemburg范数时，有

②当空间被赋予Orlicz范数时，有

其中(φ,ψ)为一对互余的函数．

证明 由不等式(1)和文[3]关于J(Lφ),J(lφ)的下界估计易得到上面的结论．

引理2 设φ为N函数，φ0(u)=u2，0

(2)

若测度空间(Ω,∑,u)是一个σ有限空间，则由φs生成的Orlicz空间Lφ，被赋予Luxemburg范数或Orlicz范数时，都有CZ(Lφs)≤21-s．

证明 由文[4]知对任何x,y∈Lφ，由Clarkson型不等式可得：

(3)

另外，由Hölder型不等式可得：

特别的，当n=2时，有

(4)

(5)

由(5)可知当(x,y)≠(0,0)时，有

从而引理得证．

例1 设

φ(u)=|u|2p+2|u|p(1

φs由它的反函数

来确定．于是

从而由引理1和引理2可得

CZ(Lφs[0,1])=21-s,

证明 当空间被赋予Luxemburg范数时，由引理1和引理2可知：

(6)

其中

(7)

或者

注意对任何N函数φ，都有

当βφ=1时，由(7)可知

因此

(8)

综上可以得到下面两个结果：

(1)设1

参考文献：

[1]Changsen Yang.A note on Jordan-von Neu-mann constant and James constant[J].Math.Appl. 2009,357:98-102.

[2]CHEN S T.Geometry of Orlicz spaces[M].Dissertations Math.,1996,356:1-204.

[3]Ren Z D.Nonsquare Constants of Orlicz Spaces,Stochastic Processes and Functional Analysis[G]//Edited by J.A.Goldstein,N.E.Gretsky and J.J.Uhl,Jr.,Marcel Dekker.Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics.1997,186:179-197.

[4]Rao M M,REN Z D.Applications of Orlicz Spaces[M].USA：Pure and Applied Mathematics.,2002.