桩承式路堤土拱效应简化分析方法

费 康 ，王军军陈 毅

（1. 扬州大学 岩土工程研究所，江苏 扬州 225009；2. 河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室，南京 210098）

1 引 言

桩承式路堤是指在地基中设置刚性桩来支承路堤填土荷载的新型路堤形式。由于其桩顶不设筏板，无需置换土体，且无需等待土体固结，具有施工速度快、沉降小、稳定性高、经济性好的优点，近年来在工程中的应用越来越广泛[1－2]。

桩承式路堤荷载传递机制的重要组成部分是“土拱效应”，其是指在路堤荷载作用下，桩和地基土之间存在差异变形，路堤填土中产生剪应力，荷载向桩顶转移，从而减小了作用在地基土表面的荷载。现有的土拱效应分析方法中一般首先根据试验或数值分析结果假设填土的破坏模式，然后进行理论推导，得到相应的计算公式。如Terzaghi[3]根据活板门试验结果，假设填土中的破坏面为通过活动门边缘（桩边缘）的竖直面，作用在地基表面的荷载等于滑动体重力扣除边界上的摩阻力，该方法对低路堤的模拟结果较好。对路堤填土较高的情况，Naughton[4]认为，填土中的破坏面为通过桩边缘的对数螺旋曲线，作用在地基表面上的荷载为破坏面下方土体的重量。Hewlett 等[5]进行了二维和三维的室内模型试验（以下简称H-R 方法），在填土中分层铺设彩砂，根据变形后彩砂的分布假设填土中存在支撑于桩顶的圆形土拱，土拱以上的填土重量被直接传给桩顶，以拱顶或拱脚土体单元的极限平衡条件为设计控制状态。Zeaske 等[6]根据模型槽试验和数值分析，认为在H-R 方法中假设的土拱下方还存在着一系列不同圆心和半径的土拱，即所谓的“多拱模型”。图1 归纳了这几种方法中假设的破坏模式，图中的a 为桩直径或宽度，s 为桩间距，H 为填土高度。

由于采用的破坏模式不同，不同方法之间的计算结果差异较大，与实测数据也有所区别[7]。本文首先采用有限元软件ABAQUS 对桩承式路堤填土中的破坏模式进行分析，在此基础上假设破坏面形状，进行理论推导，得到二维土拱效应的简化计算方法，最后将简化方法计算结果与有限元和文献中的收集的试验数据进行比较。

图1 路堤填土的破坏模式 Fig.1 Failure modes of embankment fill

2 数值分析

2.1 几何模型及边界条件

本文主要分析平面应变条件下的土拱效应。计算中选择图1 中的1 根桩及其控制范围进行分析，考虑到对称性，采用的几何模型如图2 所示，图中的AB 代表桩顶，BC 代表桩间地基的顶面，AE 和CD 为填土的侧向边界。

由于计算的重点是分析桩和桩间土的差异变形 在填土中引起的土拱效应，因此，模型中无需包含桩体和地基土，差异沉降通过设置不同的边界条件来实现。具体做法为：约束AB 和BC 水平和竖直两个方向的位移，约束AE 和CD 的水平位移；对填土按自重应力分布设置初始应力状态，即

式中： σv为竖向应力； σh为水平向应力；γ 为填土的重度； K0= 1 - sin φ′为静止土压力系数；φ′为土体的有效内摩擦角；z 为从填土顶面起算的深度。

设置初始应力状态之后，在后续分析步中放松BC 边的约束条件，直至塑性区不断扩展，数值计算不收敛，以此模拟桩间土的沉降发展过程。这种做法相当于路堤的填筑在不排水条件下进行，随后地基土体固结沉降，桩和桩间土出现足够大的差异变形。由于没有考虑地基土的支撑作用，模拟的是最不利的情况，以此分析土拱效应可能发挥的最大限度。

图2 有限元分析模型 Fig.2 The finite element model

2.2 材料模型及计算方案

路堤填土采用摩尔-库仑理想弹塑性模型模拟，计算参数见表1。

表1 模型计算参数 Table 1 Model calculation parameters

2.3 填土中的破坏面分析

破坏面通过等效塑性应变增量的分布确定，等效塑性应变eqε 定义为

式中：pε 为塑性应变张量。

图3 给出了φ ′= 30°、 s= 2.5 m时不同填土高度下确定的破坏面位置。为清晰起见，图中只给出了桩顶以上s/2 范围内的结果。若用n 表示填土高度与桩净间距之比 H /( s - a)，从计算结果可以看出， 当 n ≤ 1时，破坏面与Terzaghi 方法中假设的竖直面基本对应，近似为通过桩边缘竖直面。而当n ≥ 1.5时，破坏面不同于H-R 方法、多拱理论等方法中假设的圆形土拱，而是由3 段组成：桩边缘O点向左、右各存在一条近似直线的破坏面，其与水平面的夹角分别记为α 和β 。若将这2 个破坏面与左、右边界的交点分别标记为A、B，AB 两点之间存在着一个近似以桩边缘O点为中心的对数螺旋曲线面。1 ＜ n＜ 1.5属于过渡阶段。其他桩间距的计算结果也表现出相似的特性，这里不再赘述。

图3 破坏面位置（s =2.5 m, φ' =30°） Fig.3 Locations of the failure surface（s =2.5 m, φ' =30°）

不同摩擦角下的计算结果也表现出相同的规律。以s =2.5 m，H =6.0 m 为例（见图4），各摩擦角下的破坏面都可看作由两条直线和一条对数螺旋曲线组成，且破坏面的α 角随着φ′增加而增加，β随着φ′增加而减小。

图4 不同摩擦角下的破坏面位置（s =2.5 m, H =6.0 m） Fig.4 Locations of the failure surfaces at different friction angles（s =2.5 m, H =6.0 m）

为了进一步对破坏面形状进行分析，图5 将图3 中H =6.0 m 下的破坏面拓展到2 个桩的控制范围内，可以很清楚地看出，路堤填土较高时的破坏面与地基承载力理论中的整体剪切破坏模式很接近，可看做由弹性楔体（1）、径向剪切区（2）、朗肯被动区（3）所组成，只不过被动区发生了重叠。这和考虑相邻基础对地基承载力的影响有类似之处，Stuart[8]指出，如果相邻基础之间的距离正好使得两个基础的被动区重叠，则破坏面的形状不会发生改变；当相邻基础之间的距离在此基础上进一步减小时，破坏面的形状将改变，以保证被动区通过基础的边缘。

图5 重叠的破坏面（s =2.5 m, H =6.0 m, φ' =30°） Fig.5 Overlapped failure surface（s =2.5 m, H =6.0 m, φ' =30°）

3 土拱效应简化分析方法

根据前面的数值分析，桩承式路堤中填土的破坏模式可分为低路堤和高路堤破坏模式两种。低路堤破坏模式中，填土中的破坏面为一条通过桩边缘的竖直面，可采用Terzaghi 方法进行理论分析。高路堤破坏模式中的破坏面是由类似于地基承载力理论中的弹性区、径向剪切区和被动区组成，但由于重力作用方向始终向下，桩承式路堤并不能简单地看作是倒转的浅基础，地基承载力理论不能直接应用，需要重新推导。

3.1 破坏面形状

根据上述分析，破坏面形状可假设如图6 所示。其中OA和OB 是直线，与水平面的夹角分别为α 和β 。AB 是以O′点为中心的对数螺旋曲线。若建立如图6 所示的坐标系，以桩的边缘O 点为原点，x 轴水平向右，z 轴竖直向下。O′的坐标记为( x， z )，对数螺旋曲线上任一点M 距O′ 点的距离R 为R0exp ［ (θ -η ) tanφ］，R0是O ′A 的长度，θ 是O ′M 与水平线的夹角。O′ A 和O ′B 与水平面的夹角分别为η 和ψ 。

根据Terzaghi 地基承载力理论，若不考虑土体自重，点O′将与点O 重合，α η φ= = ，β ψ= = 45 2φ°- 。而考虑土体自重时，对数螺旋线的位置需通过试算确定。

3.2 方程推导

取图6 中的OABD 为脱离体。下面求作用在其上的力对O′点的力矩，力矩以逆时针为正。

图6 破坏面形状 Fig.6 Failure surface shape

（1）OAB 的自重对点O′的力矩

土块OAB 由于自重对O′ 的力矩可由土块O AB′ 、O OA′ 和O OB′ 的自重引起力矩的代数和求得。

土块O AB′ 由于自重对O′的力矩为

其中：

土块O OB′ 由于自重对O′的力矩为

因此，OAB 的自重对点O′的力矩为

其中： g1= f1+ f2- f3

（2）OBD 的自重对O′点的力矩

（3）OD 面上地基土反力对O′点的力矩，假设地基土反力sσ 均匀分布，则：

（4）BD 面上水平土压力对O′点的力矩

式中：pK 为被动土压力系数。

（5）OA面上合力对O′点的力矩

设OA 面上合力为 P1，合力作用点距A 点的距离为 ξOA =ξa (2cosα )，0 ≤ ξ≤ 1，若 ξ= 0则合力作用在A 点。在0～1 之间，若 P1作用方向与OA法线之间的夹角为φ，则 P1对O′点的力矩为

其中：

（6）AB 面上合力对O′点的距

对无黏性土，对数螺旋面AB 上的合力F 的作用线通过对数螺旋面的中心点O′，力矩为0。

由力矩平衡条件 0M =∑ ，将式（7）～（11）代入，整理后解得1P 为

其中：

根据桩顶三角楔形体 1OO A 竖直方向力的平衡可求得桩顶荷载pP 为

而根据整体平衡条件，又有：

式中：H 为填土高度。

若定义应力折减系数rS 为

则可得

以上推导针对的是破坏面的被动区正好互相重叠的情况，对桩间距比较大的情况，破坏面可能部分重叠或不重叠，此时可先求出正好重叠时桩顶的荷载pP ，再按下式计算应力折减系数：

3.3 求解方法

为了求得最不利情况下的应力折减系数rS ，需进行试算。具体求解过程如下：

（1）假设不同的α 角和对数螺旋曲线中心点O′坐标以及ξ 。

（2）根据几何关系按下式确定η、ψ 和β 。式（19）需通过数值方法求解。

（3）计算不同情况下的应力折减系数rS 及最大值。

4 简化分析方法的验证

4.1 与有限元计算结果的比较

本小节将前面有限元参数敏感性分析的结果和本文简化方法得到的应力折减系数 Sr进行比较。

图7（a）给出了应力折减系数 Sr与填土高度和桩净间距之比 n = H （ s - a）的变化关系，图中的m = a （ s - a），反映了不同桩间距的影响。注意到 Sr的数值应在0～1 之间，若 Sr= 1，意味着作用在桩间土表面的荷载就等于填土荷载，没有出现土拱效应。反之，若 Sr= 0，所有的荷载都转移到桩顶。

计算结果表明，虽然简化分析方法计算得到的应力折减系数略高于有限元计算结果，但整体变化规律是一致的。 Sr随n 的增加而减小，当填土高度较低时变化较明显；填土高度较高后（n ＞4）， Sr基本保持不变。对不同的m 值，m 值越小， Sr越大，因而合理地设置桩间距及桩帽尺寸，可以明显的减小作用在地基表面的荷载。同时也注意到，当n ＜1.5时，m 对 Sr的影响不明显，这是因为此时路堤填土中的破坏模式主要是低填土路堤模式，破坏面为通过桩边缘的竖直面，土拱效应的程度取决于破坏面上发挥的摩擦力， Sr只与n 有关，这与前面关于破坏模式的分析是一致的。

图7（b）给出了 s= 2.5 m， H = 6 m时 Sr与摩擦角φ 之间的关系。结果表明，有限元方法和本文简化方法得到的规律是一致的。随着摩擦角的增加，Sr减小得很明显，当 φ= 20°时，简化分析方法计算得到 Sr= 0.84；当 φ= 40°， Sr快速降低为0.25，更多的荷载通过土拱效应传递给桩。

图7 应力折减系数的有限元和简化方法计算结果的比较 Fig.7 Comparisons of stress reduction ratios computed by FEM and simplified method

4.2 与试验结果的比较

本小节将本文简化方法的计算结果与文献中收集的试验数据及其他土拱效应分析方法进行对比。

Low 等[9]进行了土拱效应的二维模型试验研究，试验在一长为1.5 m、宽为0.6 m、高为1.0 m的模型槽中进行，桩梁采用宽 a= 25 mm 的木材模拟，软土地基采用泡沫橡胶模拟，路堤填土材料采用砂土，重度 γ = 14.1 ± 0.2 kN/m3，摩擦角 φ= 45°，残余摩擦角 φcr= 37.5°。试验中变化桩间距s 和填土高度H 。具体试验工况和试验结果如表2 中的试验1～4 所示。

曹卫平等[10]参照Low 的方法，对桩-土相对位移、路堤高度、桩梁净间距等因素对土拱效应的影响进行了分析，试验中地基软土采用水袋模拟，通过给水袋放水来模拟地基固结沉降的过程。路堤材料填筑后重度γ =15.32～15.87 kN/m3，内摩擦角φ = 30°。表2 的试验5～11 给出了桩梁宽a=150 mm时的试验结果。

对比起见，表2 中同时给出了H-R 方法、Terzaghi 方法和本文方法的计算结果。

根据H-R 方法，为了形成土拱，填土的高度至少要为桩间距的1/2，即 H ≥ 0.5 s ，对应的平面应力折减系数解答为

式（21）隐含认为地基土反力 σs在相邻桩之间均匀分布，计算结果见第5 列。Low 建议考虑桩间地基土反力非均匀分布，且等效分布应力= 0.8σs，计算的结果见表2 第6 列。

Terzaghi 方法的平面应力折减系数解答为

式中：K 为滑动面上的土压力系数；sw 为填土顶面超载。应用式（22）计算应力折减系数有2 个不确定的因素。

（1）竖直滑动面上的土压力系数的确定

由于滑动面上有剪切作用，使用静止土压力系数不太合适，这里采用Handy[11]的建议

式中：aK 为朗肯主动土压力系数。

（2）等沉面高度的确定

在桩承式路堤中，桩顶和桩间土体之间存在沉降差，差异沉降在桩顶高程处最大，向上逐渐减小，当差异沉降为0 时，对应的高度称为等沉面高度Hc。只有等沉面高度范围内的土体才发挥剪切作用，起到减小地基表面荷载的作用。因此，等沉面高度以上的填土重量需作为外荷载处理，即式（22）中的 ws。因此，等沉面高度对应力折减系数的大小有比较明显的影响。目前，等沉面高度与填土高度、摩擦角等因素的影响尚不十分明朗，Terzaghi[3]建议Hc取 2.5（ s - a），曹卫平等[10]根据试验结果认为 Hc在 1.4（ s - a）～ 1.6（ s - a）之间，Horgan 等[12]认为 Hc在 1.545（s - a）～ 1.92（ s - a）之间，本文在计算时 Hc取 1.5（ s - a），计算结果见表2 中的第8 列。为对比起见，第7 列给出了不考虑等沉面时Terzaghi 方法的计算结果。

表2 应力折减系数的计算值与试验结果的对比 Table 2 Comparison between measured and computed stress reduction ratios

表2 中将最接近试验结果的数值用黑体表示。整体上来看，本文方法与试验数据的吻合度最好。H-R 方法低估了土拱效应的程度，计算得到的应力折减系数偏大，桩净间距较大时偏差更为明显。这是因为H-R 方法中土拱需支撑在桩上，桩净间距越大，土拱下土体的重量也越大。另一方面，没有考虑应力在相邻桩之间的非均匀分布，也会放大应力折减系数。考虑地基反力非均匀分布后，计算结果要好一些。

对于Terzaghi 方法，当n 较高时（试验1～4），若不考虑等沉面高度，即认为整个路堤填土高度中都会产生剪切，计算的应力折减系数明显偏小，不合理。考虑 1.5（ s - a）的等沉面高度后，计算结果与实测值的吻合程度有所改善，如试验3、4。同时注意到，若n 非常大时，如试验1，n 达到8.0，考虑等沉面的计算与实测结果之间差异也比较大，这可解释为填土高度增加之后，等沉面高度也应相应增加。若不考虑这一点，计算的应力折减系数偏大。因此，Terzaghi 方法模拟的精确度存在不确定因素。对n≤2 的情况，考虑或者不考虑等沉面高度的计算结果差异不大，且与考虑应力非均匀分布的H-R 方法结果相近。

绝大多数情况下，本文简化方法的计算结果与试验值之间吻合较好。但也注意到，对试验5、6，简化方法的模拟精确度并不如Terzaghi 方法，这是因为这两个试验的填土高度相对较低，n分别为0.7、0.9。根据前面的分析，此时填土破坏为低路堤模式，破坏面为1 条通过桩边缘的竖直面，更符合Terzaghi土拱效应理论中的假设。因此，从整体上来看，对n≥1.5 的路堤，由于采用了更合适的破坏面假设，本文提出的简化分析方法计算较其他分析方法更符合实际。

5 结 论

（1）根据有限元计算结果，桩承式路堤的破坏模式可分为低路堤和高路堤2 种模式，当路堤填土较小时（n≤1），填土中的破坏面为通过桩边缘的竖直面；当路堤填土较高时（n≥1.5），填土中的破坏面由类似于地基承载力理论中的弹性区、径向剪切区和被动区所组成。

（2）针对高路堤破坏模式，根据有限元计算结果假定了破坏面形状，建立了土拱效应简化分析方法。利用本文方法对有限元和相关文献的试验结果进行了比较。结果表明，由于采用了更合适的破坏面假设，简化分析方法的计算结果较其他分析方法更符合实际。

（3）本文所给的简化方法适用于求解极限状态下的应力折减系数，如何分析土拱效应随地基沉降变形的关系是下一步研究的重点。

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