传递函数在地下工程地震响应研究中的应用

盛 谦，崔 臻，刘加进，冷先伦

（1. 中国科学院武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室，武汉 430071；2. 中国水电顾问集团华东勘测设计研究院，杭州 310014）

1 引 言

隧道、地铁及地下厂房等地下工程在强震作用下的安全性对于人民生命财产及生命线工程的正常运行有着极为重要的影响。与大量的地面建筑物震害相比，地下机构的震害资料较少。长时间以来，人们普遍认为地下工程具有较好的抗震性能。但近年来的若干次强震说明地下工程并不一定安全，1999 年台湾集集地震中，石冈坝输水隧道垂直变形达4 m，水平变形达3.0 m，隧道全毁；2008 年四川汶川地震中，鱼子溪、映秀湾水电站地下厂房洞室同样出现震损[1]。人们对地下工程在强震作用下的安全性知之甚少，尚需对其作进一步研究。

在地震动力响应研究中，人们已经注意到岩体地震响应与地震动频谱特性的关系，并开展了许多研究工作[2－4]。地震动自身具有较为复杂的频谱特性，而动力响应又与工程体的动力特性有关。地震波3 要素中的幅值、频谱特征均表现有一定的非平稳特性，在数值计算中输入的具体地震波仅能视作随机过程的若干确定性表现。受计算效率限制，一般实践中只能选取3～5 条记录进行计算及统计分析，常常难以保证得到可靠的统计量。

传递函数最初源于控制工程理论，被认为是一种优秀的信号分析工具。它可以用于描述工程赋存岩体自身的固有动力特性，并简洁地表达输入地震动与岩体地震响应之间的对应关系。本文试图将传递函数引入到地下工程地震动力响应的研究中，提出利用传递函数进行地下工程地震响应的频谱特性分析、地震响应时频估算以及地震动输入频谱修正的3 种应用方法。继而针对金沙江白鹤滩水电站地下厂房13#机组剖面，采用有限带宽随机白噪声进行动力预计算，得到洞室各部位的传递函数。根据所提出的方法，利用传递函数分别进行了地震响应频谱特性分析；对在实测地震波输入条件下洞室的响应进行时频估算并与实际验算结果对比；并针对处于高山峡谷地形下的地下洞室群输入地震动进行频谱修正。上述研究可为地下工程的地震动力响应研究提供一些新的思路。

2 传递函数

信号的处理分析中频域分析往往较之时域分析更为简练与深刻，可采用频响函数来表示系统对于不同频率谐波的响应特征。频响函数通常用傅里叶变换表示，而傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在复频域平面s=σ +jω的jω轴上的特例。所以频响函数实际上是传递函数在傅氏域中的别称，但在多数实际应用中对这两个名词并不严格加以区别[5]。

对于最简单的输入信号 x( t )和输出信号 y ( t )来说，传递信号 H ( s )即是 y (t )的拉普拉斯线性映射Y ( s )与 x ( t )的拉普拉斯线性映射 X ( s )的比值[6]，

以及其对应的输出信号：

若在线性定常系统中，谐波信号输入频率ω 没有变化，变化的仅有各角频率ω 的幅值及相位，用频率响应来描述，分别表述为幅频响应（增益） ( )G ω及相频响应 ( )φ ω ：

通常情况下，信号处理的频域变换是针对无穷长时间信号的，但实际中只能采集到有限时间的信号，这在变换的数学过程中相当于对无限长信号突然截断，导致本该集中于某一频率的能量被分散到周围的频域，产生泄漏。可采用对信号乘上一个窗函数，使信号在结束处逐步衰减，从而平滑地过渡到截断。窗函数的选择随不同信号和不同的处理方法而不同。在地下工程的地震响应频谱分析中，相对于频率分辨率，人们往往更加关心各频谱成分的贡献。根据这一原则，并结合实际试算，认为采用频谱幅值精度较高的汉宁窗函数[7]较为合适。

3 传递函数在地下工程地震响应研究中的应用

3.1 地震动力响应频谱特性研究

传递函数是被研究系统动力特性的频域表达形式，表示了系统对输入信号（地震波）传递特性的频域描述[5]。由于输入信号在岩体内部各处阻抗不同的区域存在反射、折射和衍射等复杂传播现象，地震动信号的不同频段分量在岩体中的传播规律有较大区别，一些频率成分被放大，一些频率成分被抑制。输出信号相对于原输入信号的频谱特性有了新的分布特征。除了谱比法[8]、小波包[3]等工具，也可以利用传递函数来研究地下工程地震动力响应的频谱特性。

3.2 基于传递函数的地震响应时频估算

根据第2 节的讨论，对于线性定常系统，若取得一个已知传递函数，则系统的频域响应规律可以通过输入信号的频谱特性决定[9－10]。采用传递函数估算地下工程对输入地震动的频域响应，其表达式为

式中： F (ω )为输入加速度的傅立叶谱； zj为数值模型中某点； F (ω ， zj)为该点加速度时程的傅立叶谱估算值。

将拟采用的地震波的傅立叶谱实/虚部与已知的传递函数实/虚部进行逐频复数相乘，即得到估算的傅立叶谱值。由于估算得到的傅立叶谱 F (ω ， zj)中的幅值和相位信息是完整的，利用傅立叶逆变换方法IFFT[6]可得到时域响应 f ( t ， zj)的估算值为

图1 给出了基于传递函数的地震响应时频估算方法的计算流程。

图1 基于传递函数的地震响应时频估算流程 Fig.1 Process map of transfer-function-based seismic response time-frequency estimation method

地下洞室群等地下工程的地震动力计算往往规模极为庞大，计算代价高昂[11]。若在对具体工程进行地震动力响应计算之前，采用各频带频谱密度近似为常数的有限带宽随机白噪声等激振信号（如图2 所示）进行预计算，得到洞室周边关键部位的传递函数，进而利用传递函数对拟采用的各条地震波进行时频估算，得到估算的幅值谱以及时程响应曲线。如此可在仅进行一次动力时程计算的前提下，把握地下工程的动力响应整体规律，并可通过仅耗时几十秒的数学计算对工程各部位在强度、频谱特性及持时不同的各种非确定性地震动输入下的动态响应进行估算。相比之下，对每条地震波分别进行动力时程计算动辄各需耗费数十小时。显然，基于传函的估算法相对于传统分析方法可以大幅度节省宝贵的计算机时，使得根据有限的计算把握对象工程的整体动力响应特征成为可能。

图2 有限带宽随机白噪声加速度时程及傅氏幅值谱 Fig.2 Acceleration-time curve and Fourier amplitude spectrum of random white noise with limited bandwidth

3.3 高山峡谷地形中地震动输入的频谱修正

对于水电站地下厂房等地下工程，由于地震波在岩土体的传播过程中不同频率分量衰减程度不同，地震波至底部边界沿高程向上传播至洞室工程附近的过程中，其峰值、频谱特性及持时等特征均会发生一定变化[12]。文献[13－14]从地震波沿高程向上逐步衰减的角度，提出对输入地震波峰值应进行深度修正，以保证在控制点（如洞室底部基岩或河谷水位线）处地震动峰值满足地震安评文件要求的设计峰值。

利用传递函数可定量描述系统自身对输入信号频域传递规律的特点，可基于传递函数对输入地震波进行频谱修正，使得在控制点的地震动响应频谱特征满足设计要求[15]。

具体步骤如下：首先通过白噪声预计算得到洞室工程控制点部位的传递函数，再将控制点的期望傅立叶谱实/虚部与该控制点的传递函数实/虚部进行逐频复数除法，得到底部输入地震动的修正傅立叶谱值为

式中：F (ω ′， zj)为控制点的期望傅立叶谱；F (ω ′) 为底部输入地震动的修正傅立叶谱。

将该修正傅立叶谱进行IFFT 变换，即得到频谱修正后的输入地震波 ( )F t′ 。将修正后的地震波输入计算，所得结果可保证在工程控制点附近的地震动响应频谱特性满足设计要求。

图3 给出了高山峡谷地形中地震动输入的频谱修正方法的计算流程。

图3 高山峡谷地形地震动输入的频谱修正流程 Fig.3 Process map of transfer-function-based spectral correction for input ground motion for valley area

4 工程实例

金沙江白鹤滩水电工程地下厂房为大跨度高边墙的复杂洞室群，其主厂房跨度为32 m，工程位于地震活动强烈的高山峡谷地区，地震基本烈度为Ⅶ度。选取白鹤滩水电工程地下洞室群的13#机组剖面，进行地震动力响应研究，借以说明传递函数在地下工程地震响应研究中的应用。数值模型、岩体参数等条件参见文献[3]，按归一化剪切波输入图2所示白噪声，得到洞室各部位的传递函数。图4 表示了白噪声预计算得到的主厂房洞室顶拱、底板的传递函数实部、虚部及幅值。

图4 主厂房洞室底板、顶拱的传递函数 Fig.4 Transfer function for the floor & crown of main power house

4.1 主厂房顶拱及地震响应频谱特性研究

由得到的传递函数幅值可进行洞室的地震响应频谱分析。结果表明，地震波自下而上向地表传播的过程中，不同频段的分量传播规律不尽相同，高频分量衰减较大。由于地震波的衍射作用，主厂房底板的响应总体上强于顶拱部位，底板部位以1～ 3 Hz 为主要影响频段，以1.5～2.5 Hz 最为强烈，在1.8 Hz 附近具有一个显著频率；顶拱部位以1.5～4 Hz 为主要影响频段，以2～3.5 Hz 最为强烈，在2 Hz 及3.4 Hz 附近具有2 个显著频率，且在3～4 Hz频段顶拱部位的响应强于底板部位，显示了洞室各部位不同的动力特性。这些结论基本与文献[3]采用小波包频谱分析手段得到的结论一致。

4.2 集集地震作用下地震响应的时频估算

根据图4 的传递函数，选取1999 年台湾省集集7.6 级地震36 台站compEW site D 实测波，对其进行动力响应的时频估算。集集地震实测波归一化时程曲线如图5 所示。

图5 集集地震实测波（归一化后） Fig.5 Chi-Chi earthquake acceleration of time history (normalized)

按照式（4）首先得到集集地震作用下的主厂房洞室底板及顶拱部位的傅立叶谱估算值，如图6 中实线所示。

图6 估算及实际计算得到的加速度傅立叶幅值谱 Fig.6 Fourier amplitude spectrum of estimated & calculated results

将估算得到的傅立叶谱，按式（5）进行IFFT变化，即可估算加速度响应时程曲线，如图7 所示。为验证估算方法的正确性，进行了输入集集地震波工况的实际大规模计算，计算结果如图6、7 中的黑色曲线所示。除时程序列首尾段有一定程度的误差外，估算得到的傅立叶幅值谱及时程曲线均与实际计算得到的结果吻合较好。时程序列首尾段的误差来源主要是FFT 及IFFT 变换中的泄漏。

图7 估算及实际计算得到的加速度时程响应曲线 Fig.7 Acceleration of time history response of estimated & calculated results

4.3 对输入人工地震波的频谱修正

分别选取峡谷水位线及洞室底板作为控制点，选取根据设计反应谱合成的人工地震波的傅立叶谱作为期望频谱，如图8 所示。根据本文提出的方法进行输入地震动的频谱修正。

图8 人工合成地震波（归一化后） Fig.8 Artificial seismic wave acceleration of time histories (normalized)

图9 两个控制点未修正的谱值与期望谱对比 Fig.9 Compare of uncorrected spectral values of the reference points & expected spectrum

由图9 可见，在未进行输入地震动频谱修正前，两控制点的傅立叶幅值谱与期望谱相比，在2 Hz频段附近显著偏大，在5 Hz 以上的高频段又偏小。未进行频谱修正的地震波传播至洞室工程区域附近时，其动力响应频谱特性将不满足设计要求，对地震响应计算结果造成一定影响，放大或抑制某些频段的影响，得出错误的动力稳定性分析结论。

按照式（6）、（7），将控制点的期望傅立叶谱实/虚部与该控制点的传递函数实/虚部进行逐频复数除法，再进行IFFT 变换，得到分别相对于洞室底部控制点和河谷水面控制点的经过频谱修正后的输入地震波，如图10 所示。

将修正后的地震动分别重新输入模型计算，得到结果如图11 所示。结果显示，对输入地震动进行频谱修正后，可保证在控制点得到的地震动力响应频谱特性符合设计要求，使后续进行的地下工程动力稳定性研究建立在合适的输入地震动机制上，从而可以得到更为合理的结果。

图10 两个控制点对应的修正后输入地震动 Fig.10 Corrected input ground motion corresponding with the reference points

图11 两个控制点修正后的谱值与期望谱对比 Fig.11 Compare of corrected spectral values of the reference points & expected spectrum

5 结 论

（1）传递函数可以清晰地表达地下工程在地震动作用下的输入、输出关系，描述洞室工程各部位的动力特性，且与已有的频谱特性研究方法得出的结论相一致。在自下而上的地震剪切波作用下，洞室底板部位的响应整体强于顶拱部位，且具有不同的主频段。但在3～4 Hz 频段，顶拱的动力响应强于底板。

（2）采用有限带宽随机白噪声算得洞室工程各部位的传递函数，根据各部位传递函数进行实际地震响应时频估算的方法是可行的，估算结果与验算结果吻合良好。该方法可以大幅度减少计算量，使得根据有限的计算把握对象工程的整体动力响应特征成为可能。

（3）根据已有研究成果，取洞室底部或河谷水面为地震响应频谱控制点，基于传递函数对输入地震动时程进行频谱修正，可保证地下工程动力响应地震动输入机制的合理性。

（4）传递函数的理论基础目前仅建立在线性系统假定上，当需要考虑地下工程的非线性特征时，其应用途径当作进一步研究。

[1] 张雨霆， 肖明， 李玉婕. 汶川地震对映秀湾水电站地下厂房的震害影响及动力响应分析[J]. 岩石力学与工程学报， 2010， 29(增刊2)： 3663－3670. ZHANG Yu-ting， XIAO Ming， LI Yu-jie. Effect of Wenchuan earthquake on earthquake damage and dynamic response analysis of underground powerhouse of Yingxiuwan hydropower station[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2010， 29(Supp.2)： 3663－3670.

[2] 李海波， 马行东， 邵蔚， 等. 地震波参数对地下岩体洞室位移特性的影响分析[J]. 岩石力学与工程学报， 2005， 24(增刊1)： 4627－4634. LI Hai-bo， MA Xing-dong， SHAO Wei， et al. Influence of the earthquake parameters on the displacement of rock cavern[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2005， 24(Supp.1)： 4627－4634.

[3] 崔臻， 盛谦， 刘加进， 等. 基于小波包的地下洞室群地震响应及其频谱特性研究[J]. 岩土力学， 2010， 31(12)： 3525－3530. CUI Zhen， SHENG Qian， LIU Jia-jin， et al. Spectrum characteristics analysis of seismic response for underground houses via wavelet packet[J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31(12)： 3525－3530.

[4] 李小军， 卢滔. 水电站地下厂房洞室群地震反映显式有限元分析[J]. 水力发电学报， 2009， 28(5)： 41－46. LI Xiao-jun， LU Tao. Explicit finite element analysis of earthquake response for underground caverns of hydropower stations[J]. Journal of Hydroelectric Engineering， 2009， 28(5)： 41－46.

[5] 傅志方， 华宏星. 模态分析理论与应用[M]. 上海： 上海交通大学出版社， 2000.

[6] BERND GIROD， RUDOLF RABENSTEIN， ALEXANDER STENGER. Signals and systems， 2nd ed[M]. New York： Wiley， 2001： 50.

[7] The MathWorks Inc.. MATLAB signal processing toolbox user's guide[R]. Natick： The MathWorks Inc.， 2010.

[8] 郭明珠， 谢礼立， 闫维明， 等. 体波地脉动单点谱比法研究[J]. 岩土力学， 2003， 24(1)： 109－112. GUO Ming-zhu， XIE Li-li， YAN Wei-ming， et al. Spectral ratio of horizontal to vertical component research for body wave microtremors[J]. Rock and Soil Mechanics， 2003， 24(1)： 109－112.

[9] 蒋良潍， 姚令侃， 吴伟， 等. 传递函数分析在边坡振动台模型试验的应用探讨[J]. 岩土力学， 2010， 31(5)： 1368－1374. JIANG Liang-wei， YAO Ling-kan， WU Wei， et al. Transfer function analysis of earthquake simulation shaking table model test of side slopes[J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31(5)： 1368－1374.

[10] 林鹏， 卓家寿. 岩质高边坡开挖爆破动力特性的传递函数研究[J]. 河海大学学报， 1997， 25(6)： 122－125.

[11] 吕涛， 李海波， 杨建宏， 等. 溪洛渡地下洞室群地震响应的二维及三维数值模型比较分析研究[J]. 岩土力学， 2009， 30(3)： 721－728. LÜ Tao， LI Hai-bo， YANG Jian-hong， et al. Comparison between 2D and 3D numerical analysis for seismic response of Xiluodu underground caverns[J]. Rock and Soil Mechanics， 2009， 30(3)： 721－728.

[12] 胡进军. 地下地震动参数研究[硕士学位论文D]. 哈尔滨： 中国地震局工程力学研究所， 2003.

[13] 张玉敏， 盛谦， 朱泽奇， 等. 深度衰减效应对大型地下洞室群强震响应的影响分析[J]. 岩土力学， 2010， 31(10)： 3197－3208. ZHANG Yu-min， SHENG Qian， ZHU Ze-qi， et al. Influence of depth attenuation on seismic response of large underground cavern group[J]. Rock and Soil Mechanics， 2010， 31(10)： 3197－3208.

[14] 陈厚群. 坝址地震动输入机制探讨[J]. 水利学报， 2006， 37(12)： 1417－1423. CHEN Hou-qun. Disscussion on seismic input mechanism at dam site[J]. Journal of Hydraulic Engineering， 2006， 37(12)： 1417－1423.

[15] YAMAGUCHI Y， IWASHITA T. Earthquake motions at an embankment dam base and an estimation method of incident seismic waves using the observations[C]//The 32nd Joint Meeting of the U.S.-Japan Cooperative Program in Natural Resources Panel on Wind and Seismic Effects. Gaithersburg： [s. n.]， 2001： 253－262.