一类Caputo分数阶微分方程边值问题解的存在性

巴哈尔古力,刘 洋

(伊犁师范学院 数学与统计学院，新疆 伊宁 835000)

近年来，分数阶微分方程是研究的热点方向之一，它在材料工程等领域得到了重要的应用.例如：已成功应用于粘弹力学、信号处理、控制等领域.因此研究分数阶微分方程边值问题有着重要的意义.

本文讨论非线性分数分数阶微分方程：

u(0)-u′(0)=0，u(1)+u′(1)=0.

1 基本概念

定义1[1]函数h:(0,)→R的α>0阶Riemann-liouville积分是指：

其中Γ(·)为Gamma函数.

定义2[2-3]函数f:(0,)→R的α>0阶Caputo导数是指：

其中Γ(·)为Gamma函数,n=[α]+1([α]表示小于α的最大整数).

其中ci∈R，i=0,1,2,…,n-1.

1)T存在一个不动点；

2)存在x∈U，λ∈(0,1) 使得x=λTx.

定理3[6]若u∈C(0,1)，且1<α≤2，则分数阶微分方程边值问题：

(1)

u(0)-u′(0)=0,u(1)+u′(1)=0,

(2)

唯一解可以表示为:

根据边值条件(2)，可得：

2 主要结果

定义算子T:X→X[7-8]为:

则边值问题(1)有解等价于算子方程Tu=u有不动点.

引理1 若f:[0,1]×R→R是连续函数，则T是全连续算子.

证明易知T是连续的，定义u∈D={u∈X;‖u‖≤l,l>0},

所以，算子T一致有界.下证T等度连续.

∀u∈D,∀ε>0,t1

因此，T是等度连续的，根据Arzela-ascoli定理，算子T是全连续算子.

3 例子

例1 讨论分数阶微分方程边值问题：

的解的存在性.其中0<θ≤1.

由定理4可以得到：

由定理4知：边值问题存在一个解.

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