基于平行算法的非扩张映像的最小范数不动点

刘 霞, 李晓焱,2, 李晓娜

(1.榆林学院数学系,陕西榆林719000;2.西安建筑科技大学数学系,陕西西安710055)

1 引言和预备知识

设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→H是非扩张映像,则对于∀x,y∈C,‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖.F(T)={x∈C:x=Tx}为T的不动点集.度量(最近点)投影映射PC:H→C指:对∀x∈H,PCx是C中的唯一的点,且‖x-PCx‖=inf{‖x-y‖:y∈C}.如果 F(T)≠φ,可以证明 F(T)是 Hilbert空间中非空闭凸子集,于是存在唯一的x†∈F(T)满足‖x†‖=min{‖x‖:x∈F(T)},则称 x†是T的最小范数不动点,从而 x†是从原点到F(T)的最近点投影,即x†=PF(T)(0).记:xn→x表示{xn}强收敛于 x;xn⇀x表示{xn}弱收敛于 x;w={x:∃xnj⇀x}为{xn}的弱极限集.

文献[1]对Halpern[2]方法做了改进,当0∉C,修改后的迭代序列xn依然收敛于C中一个不动点.在此基础上,结合文献[3-10],利用平行算法和最近点投影算子对有限多非扩张映像的最小范数不动点做进一步地研究.

性质1[1,6,11]投影映射的基本性质

(i)＜x-PCx,y-PCx＞≤0,∀x∈H,∀y∈C;

(ii)＜x-y,PCx-PCy＞≥‖PCx-PCy‖2,∀x,y∈H;

(iii)‖x-PCx‖2≤‖x-y‖2-‖y-PCx‖2,∀x∈H,∀y∈C.

引理1[1,5]半闭原理,设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→C是非扩张映射,当 n→∞时,如果 xn⇀p,且‖xn-Txn‖→0,则 p是T的不动点,即 p∈F(T).引理2[1,6,12]设{αn}是一个满足下列条件的非负实数序列

2 主要结果

引理3 设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集,{T1,…,Tn}是C上的N个非扩张自映射,对于所有的1≤i≤N,λi＞0,且,那么算子是非扩张的 .

证明 对任意的 x,y∈C,有

定理 设 C是实Hilbert空间 H的非空闭凸子集,{T1,…,TN}是 C上的N个非扩张自映射,且φ≠F(T):=∩Ni=1F(Ti)=(T1T2…tN),假定{tn}满足下列条件:

(B1)

任取初始值x0∈C,序列{xn}通过平行算法定义为则序列{xn}强收敛于非扩张映像的公共最小范数不动点.

证明 (1)证明{xn}有界.任取 p∈F(T)由式(1)可推得

所以,对所有的 n≥0归纳可得:‖xn-p‖≤max{‖x0-p‖,‖p‖}.于是序列{xn}有界,即存在 M＞0,使对所有的 n,恒有 M≥max{‖xn‖,‖Txn‖}成立.

(2)证明‖xn+1-xn‖→0.利用 PC的非扩张性和式(1)得

由引理2,条件(B3)和式(2)可得‖xn+1-xn‖→0.

(3)证明 ωn(xn)⊂F(T).

由引理1可得 ωn(xn)⊂F(T).

因为{xn}有界,所以不失一般性可设 xn′⇀x′∈F(T).又 x†=PF(T)(0),所以由性质 1(i)和(3)式可得

(5)最后证明xn→x†

其中

如果上述定理只有一个映射,即i=1,则有下述推论成立.

推论 设C是Hilbert空间H的非空闭凸子集,T:C→C非扩张映像,F(T)≠φ,x0∈C.设{tn}∈(0,1),并满足上述定理中的(B1),(B2),(B3)条件.序列{xn}定义为

则

致谢:感谢榆林学院科研启动项目(11gk64)对本文的资助

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