H-矩阵的预条件AOR迭代法

周 婷， 郭文彬， 崔 燕

(1.衡水学院 数学与计算机学院 河北 衡水 053000；2.聊城大学 数学科学学院 山东 聊城 252059；3.南京理工大学 计算机科学与技术学院 江苏 南京 210094)

0 引言

研究线性方程组

Ax=b,

(1)

其中A是一个n阶实矩阵,x和b是n维实向量.不失一般性,令A=I-L-U,其中I是单位矩阵,-L和-U分别是A的严格下三角和严格上三角矩阵.w和r是实参数,w≠0,那么基本的AOR迭代法的迭代矩阵[1]为

Tr,w=(I-rL)-1[(1-w)I+(w-r)L+wU],

(2)

众所周知,当参数w和r取特定的值时,可得到SOR,Gauss-Seidel,JOR和Jacobi迭代法.当P是非奇异矩阵时，把线性方程组(1)转化为等价的预条件形式为

PAx=Pb.

(3)

本文给出两类新的预条件矩阵Pα=I+Sα和Pβ=I+Sβ,这里,

定义1[15]设A=(aij)∈Rn×n.若对∀i≠j有aij≤0,称A为Z-矩阵; 若A=sI-B,B≥0，且s>ρ(B),其中ρ(B)表示矩阵B的谱半径,则称A为非奇异M-矩阵; 如果对∀i,j满足aij≥0(aij>0),则称A为非负矩阵(正矩阵),记为A≥0(A>0).类似的可定义非负(正)向量.

引理1[16]设A是Z-矩阵,A是M-矩阵当且仅当存在向量u=(u1,…,un)T>0使得Au>0.

引理2[3]令A是一个H-矩阵,如果0≤r≤w≤1,w≠0,则ρ(Tr,w)<1.

1 主要结论

考虑预条件矩阵Pα=I+Sα,令Aα=(I+Sα)A=Dα-Lα-Uα,其中Dα，-Lα,-Uα分别是Aα的对角、严格下三角和严格上三角部分，则对应的预条件AOR迭代法的迭代矩阵为

(4)

类似的,考虑预条件矩阵Pβ=I+Sβ.令Aβ=(I+Sβ)A=Dβ-Lβ-Uβ,其中Dβ,-Lβ,-Uβ分别是Aβ的对角、严格下三角和严格上三角部分.则对应的预条件AOR迭代法的迭代矩阵为

(5)

>0.

证明令(〈Aα〉u)i是向量〈Aα〉u的第i个元素.则有

(6)

(7)

当0≤αi≤1(i=1,…,n-1)时,有

>0.

(8)

>0.

(9)

>0.

证明令(〈Aβ〉v)i是向量〈Aβ〉v的第i个元素.则有

(10)

(11)

当0≤βi≤1(i=2,…,n)时,有

>0.

(12)

>0.

(13)

2 数值例子

考虑线性方程组(1)的系数矩阵A[13],这里，

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