一类高阶非线性发展方程解的爆破

王艳萍

(郑州航空工业管理学院 数理系 河南 郑州 450015)

0 引言

本文讨论高阶非线性发展方程的初边值问题：

utt-uxx-uxxtt+αux4+βux4t2=f(u)xx,0

(1)

u(0,t)=u(1,t)=uxx(0,t)=uxx(1,t)=0,0≤t

(2)

u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=φ(x),0≤x≤1,

(3)

其中，u(x,t)是关于变量x和t的未知函数,α>0,β>0是物理常数,f(x)是已知的非线性函数，φ(x)和φ(x)是已知的初始函数.

在晶格动力学和水波的研究中都提出了模型方程[1]

utt-uxx-uxxtt+αux4+βux4t2=γ(u2)xx,

(4)

其中，α>0,β>0和γ≠0是常数.显然方程(1)是方程(4)的广义形式，这种方程也被称为Boussinesq型方程(简称Bq方程).关于Bq方程的孤立子波解和行波解的研究，已经有大量的结果[2-5].文献[6]研究了方程(4)初边值问题,给出了问题局部解的存在性和唯一性，并讨论了解的爆破性质；文献[7]对方程(1)的初值问题进行了讨论，给出了问题整体解的存在性和唯一性，并给出了解爆破的充分条件.本文对方程(1)的初边值问题进行研究，首先证明问题(1)～(3)的局部广义解的存在性与唯一性，然后利用凸性方法证明问题解的爆破.

文中分别用‖·‖和‖·‖Hm表示L2(0,1)和Sobobev 空间Hm(0,1)中的范数,有时也记Ω=(0,1).

1 局部解和解的爆破

用Galerkin方法和紧性原理可以证明关于方程(1)～(3)的解的存在性定理.

u(x,t)∈C([0,T0);H4(0,1))∩C1([0,T0);H4(0,1))∩C2([0,T0);H4(0,1))，

其中,T0是解的最大存在区间.

为了讨论问题解的爆破,首先给出引理1和引理2.

引理1(Jensen不等式)设G(x)定义在(a,b)上,G(x)∈[a1,b1]其中,a,b,a1,b1是有限数或∞,F(x)是(a1,b1)上的连续的凸函数,Q(x)∈L1[a,b],且Q(x)≥0,则有

在右端有限时成立.

下面讨论问题(1)～(3)解的爆破性质.

定理2设u(x,t)是问题(1)～(3)的广义解,且

其中,y(x)表示特征问题.

y″+λy=0,y(0)=y(1)=0,0

(a)f(s)∈C2(R)是偶的凸函数,且满足f(0)=0.f(ρ)-(1+αμ)ρ≥0;

(b)当s→+∞时，f(s)增长得足够快， 使得积分

(5)

注意到ω(x)及u(x,t)所满足的边界条件,利用分部积分可得

(6)

(7)

(8)

把(6)～(8)式代入(5)可以得到

(9)

利用Jensen不等式,注意到关于f的假定，可知

(10)

由(9)和(10)式得

(11)

由于

特别地，f0(s)在[ρ,+∞)上单增，且f0(s)≥f0(ρ)≥0，因而对∀s≥ρ,f(s)-(1+αμ)s≥0.记

由于z(t)>0,从而

定理证毕.

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