自适应形态算子的表示方法及性质研究

段 汕，王赢飞

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉430074)

数学形态学是用一个称为结构元素的“探针”去探测输入图像，以便考察图像各个部分间的相互关系，了解图像的结构特征[1]．基于结构元素和输入图像的形态腐蚀、膨胀、开、闭算子是形态学中的四大基本算子，在此基础上，可以构建各种形态滤波对图像进行处理．近年来，形态学逐渐发展成为图像处理领域的一个强有力的工具[2]，这也使得对基本形态算子的研究成为形态学理论研究的重点．

最初的形态学主要集中于对欧氏空间中递增的平移不变算子的研究．其中递增性符合人眼视觉系统对外界事物的认知特点，是形态算子的重要性质．在对平移不变算子的实施过程中，所用到的结构元素在整个空间中都是固定不变的．但是随着形态学应用领域的不断扩展，在很多实际应用中，具有平移不变性的形态算子已不再满足需要，随之出现了SV形态算子[3-6]．SV形态思想的正式建立可以追溯到Serra在1988年提出的结构函数[6]的概念及其应用，这个概念不仅保留了结构元素的意义，也为数学形态学在实践中的广泛应用奠定了基础．这一点从近年来涌现出的大量关于SV形态算子和自适应(Adaptive)形态算子的研究中就可以窥见一斑．对于SV形态算子，所用到的结构元素称为SV结构元素，也即结构元素的变化通过先验知识被事先确定，只与被探测点的特征有关，独立于输入图像．而与自适应形态算子相对应的结构元素的变化不仅依赖于被探测点的特征，也依赖于具体的输入图像[7]．这是两种不同的结构元素，在文献[8]中，作者分别将这两种结构元素称为定位自适应结构元素(Location-adaptive structuring elements)和输入自适应结构元素(Input adaptive structuring elements)．但也有很多文献混淆了二者的概念．文献[9]和[10]对欧氏空间中SV形态学的理论做了深入研究，却在文献[9]中将自适应形态学[11,12]作为其SV框架下的特例．而在对由自适应结构元构建的交变序列滤波的研究中[13]，作者对算子代数性质的证明也仅仅只对SV结构元成立．因此，虽然两种结构元素都已不再是固定不变的，但现有的SV数学形态学的理论框架并不能概括自适应形态算子．鉴于此，本文以最初的结构函数的概念和SV二值形态理论为基础，对自适应形态算子的表示方法及性质进行研究．

1 背景知识

考虑n维欧氏空间E=Rn或Zn(n>1)，幂集P(E)依包含关系构成了一个完备布尔格．1988年，Serra将E→P(E)上的映射θ:x→θ(x)定义为结构函数[6]，这个映射为空间中的每一点x赋予了一个不同的结构元素θ(x)，并且θ的变化仅依赖于被探测点x的特征，这为结构元素从固定不变到动态变化的演变与发展提供了理论依据，也为SV形态学思想的最终建立奠定了基础．对θ建立其序结构为θ1≤θ2⟺θ1(z)⊆θ2(z)(z∈E)，并将θ′(y)={z∈E|y∈θ(z)}(y∈E)称为θ的转置结构元素，那么欧氏空间中SV二值腐蚀和膨胀可以表示为[9]：

(1)

(2)

其中X∈P(E)．

在(1)、(2)式的基础上，可以通过算子之间的复合构建一系列的SV形态滤波．本文以此为基础，对欧氏空间中自适应形态算子的表示方法及性质进行研究．在下文中，我们用大写字母X,Y,Z表示P(E)中的元素，小写字母x,y,z表示E中的元素．

2 自适应形态算子的表示及性质

基于自适应结构元素所构建的形态算子称为自适应形态算子．自适应结构元素与上述SV结构元素的差别主要在于SV结构元素仅与被探测点的特征有关，而自适应结构元素除了与被探测点z的位置有关以外，还依赖于具体的输入图像X．因此，定义自适应结构元素[14]为φ(z,X):E×P(E)→P(E)，其中z∈E，X∈P(E)，并规定φ继承P(E)上的序结构，即：

φ1≤φ2⟺φ1(z,X)⊆φ2(z,X).

定义φ的转置结构元素φ′为：

φ′(y,X)={z∈E|y∈φ(z,X)}(y∈E).

相应地，在此基础上定义P(E)→P(E)上的映射εφ和δφ如下：

εφ(X)={z∈E|φ(z,X)⊆X}(X∈P(E)),

(3)

(4)

在(3)式中，由于对于任意的z∈εφ(X)，有：

φ(z,X)⊆X⟺∀y∈Xc,y∉φ(z,X)⟺∀y∈Xc,z∉

(5)

同理，对于(4)式，对任意的z∈δφ(X)，有：

即(4)式又可以表示为：

δφ(X)={z∈E|φ′(z,X)∩X≠∅}(X∈P(E)).

(6)

注意到，对于任意的z∈E，X∈P(E)，在结构元素固定不变的情况下，φ(z,X)=B+z，B为P(E)上的固定集合，那么：

∀z∈X,z∈{ω∈E|φ(ω,X)⊆Y}⟺X⊆{ω∈E|φ(ω,X)⊆Y}，

而{ω∈E|φ(ω,X)⊆Y}≠{ω∈E|φ(ω,Y)⊆Y}，故εφ和δφ并不构成附益关系．并且如果设X⊆Y，那么对于任意的z∈εφ(X)，φ(z,X)⊆X⊆Y，但并不能保证φ(z,Y)⊆Y，也就不能得出εφ(X)⊆εφ(Y)的结论，因此εφ并不是递增算子，同理可得δφ也不是递增算子．故基于自适应结构元素φ所构建的算子(3)、(4)并不是P(E)上的腐蚀与膨胀算子．

为了获得自适应形态算子的表示，我们需要对结构元素加以条件限制．

2.1 自适应结构元素需满足的条件

在数学形态学中，基本形态算子腐蚀和膨胀分别定义为与元素的上确界和下确界可交换的算子[5]，在P(E)中，这种确界关系就表现为集合与集合之间的并与交．根据定义，腐蚀、膨胀运算需具有递增性、附益性、对偶性等一系列性质．为了使(3)、(4)式能够表示P(E)中的腐蚀和膨胀运算，我们假定自适应结构元素φ满足如下条件：

(a) 对于任意的z∈E，X∈P(E)，都有z∈φ(z,X)；

(b) 若X⊆Y，则φ(z,X)⊆φ(z,Y)，其中z∈E，且当z∈X时，φ(z,X)=φ(z,Y)．

由于在结构元素固定不变的情况下，条件(a)就表现为φ(z,X)=B+z，B为固定集合，那么(a)等价于z∈(B+z)，即0∈B，因此此时条件(a)意味着结构元素包含原点．条件(b)表明，当输入图像X包含在Y中时，依赖于图像X的结构元所探测的结果必定包含在依赖于输入图像Y的结构元素所探测的结果中，因此条件(b)既符合实际应用中的常识，也符合心理学上人们对事物的认知特点．

下面我们证明在条件(a)、(b)的假定下，算子εφ和δφ满足的一些性质．

2.2 自适应腐蚀与膨胀的性质

性质1(增性) 若X,Y∈P(E)，X⊆Y，那么对任意的结构元素φ，有εφ(X)⊆εφ(Y)，δφ(X)⊆δφ(Y)．

证明1)由于εφ(X)={z∈E|φ(z,X)⊆X}，z∈φ(z,X)，则对任意的z∈εφ(X)，有z∈φ(z,X)⊆X，又X⊆Y，故由条件(b)可得φ(z,Y)=φ(z,X)⊆X⊆Y，即z∈εφ(Y)={z∈E|φ(z,Y)⊆Y}，故εφ(X)⊆εφ(Y)．

性质2 (扩展性(非扩展性)) 对于任意的结构元素φ，都有εφ(X)⊆X，X⊆δφ(X)(X∈P(E))．

证明1)由于εφ(X)={z∈E|φ(z,X)⊆X}，则由z∈φ(z,X)可知，对任意的z∈εφ(X)，有z∈φ(z,X)⊆X，即εφ(X)⊆X．

性质3(附益性) 对任意的结构元素φ，δφ(X)⊆Y⟺X⊆εφ(Y)(X,Y∈P(E))．

证明由于z∈φ(z,X)，则εφ(X)⊆X⊆δφ(X)．故由δφ(X)⊆Y可得X⊆Y，由X⊆εφ(Y)可得X⊆Y．则对任意的z∈X，有φ(z,X)=φ(z,Y)．故：

性质5 (结构元素的增性) 若结构元素φ1≤φ2，则εφ2⊆εφ1，δφ1⊆δφ2．

证明1) 由于εφ1(X)={z∈E|φ1(z,X)⊆X}，εφ2(X)={z∈E|φ2(z,X)⊆X}，其中X∈P(E)，则对于任意的z∈εφ2(X)，有φ2(z,X)⊆X．又φ1≤φ2，则可得φ1(z,X)⊆φ2(z,X)⊆X，也即z∈εφ1(X)．因此εφ2⊆εφ1．

性质6 (结构元素的复合性) 若φ1，φ2是E×P(E)→P(E)上的映射，那么εφ2(εφ1)=εδφ1(φ2)，δφ2(δφ1)=δδφ2(φ1)，其中δφ1(φ2)表示E×P(E)→P(E)上的映射，对任意的z∈E，X∈P(E)满足δφ1(φ2)(z,X)=δφ1(φ2(z,X))．

证明1)εφ2(εφ1)(X)=εφ2(εφ1(X))={z∈E|φ2(z,X)⊆εφ1(X)}={z∈E|δφ1(φ2(z,X))⊆X}={z∈E|δφ1φ2(z,X)⊆X}=εδφ1(φ2)(X)(X∈P(E)).

由上述证明可以看出，在条件(a)、(b)的假定下，由(3)、(4) (及(5)、(6))两式所定义的算子εφ、δφ满足一般形态腐蚀、膨胀需具备的一系列性质，因此它们正是P(E)上基于自适应结构元素φ的腐蚀和膨胀算子．

2.3 自适应开、闭算子的表示及性质

在2.1中基本条件(a)、(b)的假定下，我们可以由自适应腐蚀和膨胀算子的表达式(3)、(4)(及(5)、(6))得到自适应开、闭算子如下：

αφ(X)=δφ(εφ(X))=∪{φ(z,X)|z∈εφ(X)}=∪{φ(z,X)|z∈{y∈E|φ(y,X)⊆X}}=∪{φ(z,X)|φ(z,X)⊆X,z∈E},

βφ(X)=εφ(δφ(X))={z∈E|φ(z,X)⊆δφ(X)}={z∈E|φ(z,X)⊆{y∈E|φ′(y,X)∩X≠∅}}={z∈E|φ′(y,X)∩X≠∅,y∈φ(z,X)}={z∈E|φ′(y,X)∩X≠∅,z∈φ′(y,X)}.

其中X∈P(E)．可以证明，它们满足一般形态开、闭算子的代数性质．

性质1 (增性) 若X,Y∈P(E)且X⊆Y，那么对任意的结构元素φ，都有αφ(X)⊆αφ(Y)，βφ(X)⊆βφ(Y)．

证明1)由于αφ(X)=∪{φ(z,X)|φ(z,X)⊆X,z∈E}，则对于任意的φ(z,X)∈αφ(X)，有φ(z,X)⊆X．又由假定条件(a)，z∈φ(z,X)⊆X，则z∈X，故由条件(b)可知，φ(z,Y)=φ(z,X)⊆X⊆Y，即φ(z,Y)∈αφ(Y)，也即αφ(X)⊆αφ(Y)．

2) 由于βφ(X)={z∈E|φ′(y,X)∩X≠∅,z∈φ′(y,X)}，则对任意的z∈βφ(X)，都有φ′(y,X)∩X≠∅且z∈φ′(y,X)．则由z∈φ′(y,X)可得y∈φ(z,X)⊆φ(z,Y)，则z∈φ′(y,Y)，故φ′(y,X)⊆φ′(y,Y)，于是φ′(y,Y)∩Y≠∅且z∈φ′(y,Y)，即有z∈βφ(Y)．因此，βφ(X)⊆βφ(Y)．

性质2 (扩展性(非扩展性)) 对任意的结构元素φ，αφ(X)⊆X，X⊆βφ(X)，其中X∈P(E)．

证明由于对任意的X，Y∈P(E)，有δφ(X)⊆Y⟺X⊆εφ(Y)成立，则令X=εφ(Y)得δφ(εφ(Y))⊆Y，即对任意的X∈P(E)，αφ(X)⊆X．令Y=δφ(Y)得，X⊆εφ(δφ(X))，即X⊆βφ(X)．

3 结束语

自适应算子在实际应用中有着广泛的发展前景和重要的研究价值，而自适应形态腐蚀、膨胀、开、闭算子的表示则是形态学理论的重要组成部分和应用基础．通过以上研究，我们可以清晰地看到，在赋予自适应结构元素适当的条件之后，就可以得到相应的形态腐蚀、膨胀、开、闭算子的表示形式及性质，为一般自适应形态算子的研究构建一个相对清晰的理论框架，并且可以将SV数学形态学看作自适应理论下的一个特例．本工作为形态算子基于自适应腐蚀和膨胀的表示定理的研究奠定了基础，对灰度自适应形态算子表示的研究有一定的参考价值，对自适应形态理论的实际应用也有一定的指导意义．

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