一类平面二次系统(III)类方程的极限环存在性

朱曼，杨锁玲，郭丽艳

(1．临沂大学 理学院，山东 临沂 276005;2．山东师范大学 数学科学学院，山东 济南 250014)

0 引言

著名数学家希尔伯特早在二十世纪初的国际数学家大会上提出了23个著名数学问题，对20世纪的数学发展起到了很大的推动作用．其中，第16个问题的后半部分为:多项式微分系统的极限环的最大个数是多少?相对位置如何?自那以后特别是近几十年来，数学工作者花费了大量的时间和精力致力于该问题的研究，取得了一系列卓越的研究结果．其中在对平面二次系统的研究中，著名数学家叶彦谦先生给出了如下的叶彦谦分类:

(I)类方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x．

(II)类方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x(1+ax)，a≠0．

(III)类方程:˙x=-y+δx+lx2+m xy+ny2，˙y=x(1+ax+by)，b≠0．

关于二次微分系统的极限环问题的研究，近几十年来已有大量的工作［1，2］．但是，通常采取的方法是作适当的变换把方程化为Liénard形式，再利用定性的方法来讨论极限环的存在性．文［3］利用分支的方法，通过分析未扰方程的同宿轨经扰动破裂以后的稳定流形和不稳定流形之间的相对距离，研究了一类含三个自由参数的平面二次微分系统(III)类方程的极限环的存在性问题．本文对文［3］中方程进行改进，并研究改进后一类含五个自由参数的平面二次微分系统(III)类方程的同宿环的分支问题，给出系统存在极限环的条件．

1 引理

考虑平面自治系统

及其扰动系统

其中 f，g，f0，g0∈ C1，x，y ∈ R1，p ∈ R1，q ∈ Rk，k ≥ 0．

引理1 (P－B环域定理)［5］:设D是由两条不相交的单闭曲线L1和L2所围成的环

注1:L1和L2可以部分地由轨线构成，甚至上面可以出现有限个奇点，只要保证轨线一旦进入(离开)D后不再离开(进入)即可．

注2:D的内边界(不妨设为L1)可以缩为一个不稳定(稳定)的奇点．

引理2［6，7］:假设(1)．系统(1．1) 存在同宿于鞍点 O(0，0) 的同宿轨 Γ，P0为 Γ 上任意一点，过P0作(1．1)的横截线l与Γ在P0点的外法线方向→n共线．

(2)．扰动系统(1．2) 在O(0，0) 点附近的鞍点为¯O，过¯O的稳定流形和不稳定流形与 l的交点分别为 Ps和 Pu．则在小扰动下，从 Ps到 Pu的有向距离

2 主要结果

考虑系统

(1)当0 ＜ δ ＜2时，系统(2．1)和(2．2)有鞍点不稳定焦点 B(0，0)．0

(2) 当 δ ≥2时，系统(2．1) 和(2．2) 有鞍点不稳定结点 B(0，0)．0

(3)当 -2 ＜ δ ＜0时，系统(2．1)和(2．2)有鞍点稳定焦点 B(0，0)．0

(4) 当 δ ≤-2时，系统(2．1) 和(2．2) 有鞍点，稳定结点 B(0，0)．0

(1)当0＜pq＜2时，系统(2．3)有鞍点O(0，0)，不稳定焦点

(2)当pq≥2时，系统(2．3)有鞍点O(0，0)，不稳定结点

(3)当 -2＜pq＜0时，系统(2．3)有鞍点O(0，0)，稳定焦点(4)当pq≤-2时，系统(2．3)有鞍点O(0，0)，稳定结点

考虑(2．3) 的未扰系统(2．3)|p=0

当h=0时，系统(2．5)为(2．4)过鞍点O(0，0)的同宿轨，记为Γ，即:由系统(2．4)知Γ为逆时针走向，经计算易知，Γ与v轴的交点为不妨设此时,即

当n＞0时，系统(2．4)的同宿轨Γ整体定义在v轴的负半平面，记其在v轴的右边部分为Γ+，在v轴左边部分为Γ-(当n＜0时，系统(2．4)的同宿轨Γ整体定义在v轴的正半平面，记其在v轴的左边部分为Γ+，在v轴右边部分为Γ-)，由(2．5)知Γ+与Γ-的表达式分别为

同理:

所以:

下面利用P-B环域定理证明极限环的存在性．要证Γ内含有极限环，只需构造环域定理所需的内外境界即可．

其次，已知p ＞ 0，0 ＜|q|＜ 1，p充分小，取PsPu∪PuO∪OPs作为环域D的外境界．

综上所述即得下述定理:

［1］叶彦谦．极限环论［M］．上海:上海科技出版社，1984．

［2］叶彦谦．多项式微分系统定性理论［M］．上海:上海科技出版社，1995．

［3］李光芹．一类平面二次方程的极限环存在性［J］．曲阜师范大学学报，2002，(2):53－55．

［4］金银来．二次微分系统(I)类方程的分支问题［J］．聊城师范学院学报，2001，(2):15－16，20．

［5］张芷芬，丁同仁，等．微分方程定性理论［M］．北京:科学出版社，1985．

［6］张锦炎，冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题［M］．北京:北京大学出版社，2000．

［7］韩茂安，朱德明．微分方程分支理论［M］．北京:煤炭工业出版社，1994．

［8］程福德．软弹簧型方程在摄动下分支出极限环［J］．应用数学和力学，1998，(2):121－125．