《二次函数》的教学体会

　　对于二次函数，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，所以他们对这部分内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，教材中并没有用单独章节进行讲解，于是学生出现了知道而不会应用的现象，尤其是高三复习阶段，对二次函数还需再深入学习。
　　一、进一步深入理解二次函数的概念
　　二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　1.已知f（x）=x2+x+2，求f（x+1）。
　　这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　2.设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）。
　　这个问题可以理解为，已知对应法则f和定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：
　　（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6。
　　（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
　　令t=x+1，则x=t-1∴f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）=x2－6x+6。
　　二、二次函数的单调性、最值与图象
　　在高中阶段函数单调性是重点，高考占很大比例，学习单调性时，二次函数是基础，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，从函数观点用定义研究对称轴，并给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性，培养学生的数形结合思想。比如：
　　1.画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　（1）y=x2－1
　　（2）=x2+2x－1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　2.设f（x）=x2－2x－1在区间［t，t+1］上的最小值是g（t）。
　　求：g（t）并画出y=g（t）的图象。
　　解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2。
　　当1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=－2
　　当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1
　　当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2
　　（函数图象略）
　　首先要使学生弄清楚题意，一般的，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域，以求培养学生的分类讨论思想。
　　三、二次函数的知识可以准确反映学生的数学思维
　　二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　（作者单位 河北省张家口市涿鹿县涿鹿中学）