试论数学模型法与数学教学的结合与应用
2011-12-31彭伟健
职业时空 2011年12期
摘要：在教学中，将数学模型法与数学教学相结合，为学生学数学提供条件性知识，会使学生学会利用数学理论和方法去分析和解决问题，培养他们用数学的意识。
关键词：数学模型法；数学教学；结合与应用
数学是人们认识世界和改造世界的一种基本手段和方法。它作为一种思想、一种语言、一种思维、一种策略，不应只限于“一张纸一支笔”式的推理论证，而是应与实践相结合，从实践中获得感性认识。所谓数学模型法，是指把所考察的实际问题，化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。
一、数学模型法的历史溯源
在中国古代，公元1世纪成书的《九章算术》为当时社会生活各个领域利用数学提供了系统的数学模型。例如其中的“粟米”章提供了粮食互换及其他贸易用的数学模型，“勾股”章提供了一种可用于多种领域的数学模型－直角三角形，“方程章”则提供了“线性方程组”。
近代的伽里略是在实际的科学研究中开创数学方法与实际结合的第一人，从而开启了数学模型法在近代科学中应用的先河；牛顿建立的经典力学体系也正是用数学模型表述的（即微积分学）。因此运用数学模型法时可以利用现成的数学内容作为模型；如果没有，就要建立新的数学模型，而为此往往需要创建新的数学理论，因而运用数学模型法也促进着数学的发展。这样，人们不仅由实际问题中提炼出数学模型并运用数学模型解决原有的问题，也开始对数学模型作了深入的研究，并且利用研究的结果发现现实世界中的新事物，或者创造出符合模型提供的规律的新型实物。
这样，数学模型就成为各门科学中极其重要的方法，通过构造数学模型，使得利用构造数学模型解决实际问题的方法广泛应用于自然科学工程技术，甚至于社会科学的一切领域中，并且它通过各门科学与现实世界联系起来了。
二、数学模型法在数学教学中的意义与运用
1.数学模型法对数学教学的意义
为适应现代社会的发展，立足于数学应用教育，在数学的教学中，我们应考虑加入“实际-理论-实际”策略，这是依据数学模型法是数学的一种重要方法而提出来的。即首先描述一个实际问题，通过观察分析，将实际问题抽象为数学问题，然后同数学模型纳入某个知识系统去处理，试图用已有的数学模型（如方程、不等式、函数、统计等）来解决，最后用其结果来阐释实际问题，这样可以培养学生的观察、分析、抽象、综合、类比等能力。
当我们在教学中始终贯穿着数学模型法的思想，引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物的数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出熟悉的数学模型，可以达到用数学模型解决实际问题，并使数学模型的意识成为学生思考问题的方法和习惯。
2.数模法教学采用的方法
对于具体的实际问题，在利用数学模型法求解时，常有两种可能情形：（1）在少数场合，由实际问题抽象出来的数学模型，不能纳入已知的数学模型，须有待于逻辑地建立它的新理论，这就是数学家的发现和创造。例如欧拉所提出的“哥尼斯堡七桥问题”。（2）在多数场合，由实际问题所抽象出来的数学模型，恰好是某个已知的方法或结构型数学模型的一部分。在这种情形下，可以利用已有的数学知识，推求其相应的数学结果，然后把所得的结果返还到原来的实际问题中去。这个基本过程，可以用以下框图来表示：
通常第二种情形的解决过程正是目前数学教学中所经常采用的方法、手段。
3.数模法教学应注重与实际相结合
教师作为数学教学活动的组织者、决策者、调控者，可以用数学模型法指导数学教学，并根据数学模型来安排教学，为学生学数学提供条件性知识，同时有目的地培养学生用数学的意识。
从社会和生活需求的角度出发，可考虑在数学课程中引入一些应用性的知识：如计算利息、投入产出、运输、资源合理利用最大化等实际问题，以及在衣食住行、运动等方面的现实问题。还有，将一些基本的数学思想如数学化与模型化思想、优化与决策化思想等确定为显隐的课程内容。这些内容的引入，将对充实课程的应用知识，提高学生解决问题和分析问题的能力起到非常好的作用。
4.具体实例分析教学
案例一：
在讲授等差数列、等比数列的有关内容时，可适时地加入计算存款利息的有关知识。因为，在日常生活中，我们每个人都要与银行打交道。比如，某人存入银行现金100元，年利率为10％（按单利计），经过3年后一次性取出本利和为130元，此时的130元是如何计算出来的？若年利率按复利计算，3年后一次性取出本利和为多少？针对这种问题，首先就要介绍一些相关的基本概念，例如本金、期数、利息、单利计息、复利计息等。然后分析两种不同的计息情况：
（1）单利计息公式：设一笔资金的本金为P元，每期利率为i，若按单利计算利息，则利息值与本利和F可按期数排成下面的数列：
不难看出，复利的利息数列与本利和数列都是等比数列，公比都为（1＋i）。其中，利息的通项公式为：In＝P×（1＋i）n－1×i
本利和的通项公式为：Fn＝P（1＋i）n
从以上分析，可知所提问题的计算实际上是归入等差数列、等比数列的数学模型，那么它的解决就可以套用已有的公式进行计算：
若按单利进行计算：
利息 I＝100×10％×3＝30元
本利和 F＝100（1＋3×10％）＝130元
若按复利进行计算：
利息 I＝100×（1＋10％）3－1 ×10％＝12.1元
本利和 F＝100×（1＋10％）3＝133.1元
有了以上的相应基础知识，我们还可以将应用问题适当地扩展为平时常见的三种储蓄形式：活期储蓄、整存整取定期储蓄、零存整取储蓄。在这三种形式下，存入本金到期后的本利和则可利用相关的知识进行计算了。例如：年初某人计划每月底存入银行100元，月息为0.165％，分别按单利和复利计算，到年底时年金终值是多少？像这样的一些实际问题，既贴近学生的现实生活，又紧扣教学内容，能比较容易增强学生学习的兴趣和信心。
案例二：
在工农业生产、社会实践中，常会遇到一些这样的问题：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“效果最好”等。这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值或最小值问题。
例如：把一根直径为d＝400mm的圆木，加工成矩形截面的柱子，问怎样锯法可使被废的木料最少？
思考方法：要使废弃的木料最少，就是要使柱子的截面积最大。所以，这个问题就是要求已知圆的最大面积的内接矩形。
思路1：考察圆木的截面积。已知圆的直径为d，设圆内接矩形的面积为S，一边AB的长为x，则另一边BC长为， 所以，（0
要求函数S的最大值，可考虑采用求导数的方法：
＝＞S2=x2(d2-x2)=d2x2-x4（0
