逆矩阵一题多解法简述

　　摘 要: 本文就同一矩阵，给出了一题多解的求逆矩阵的方法，并比较这几种方法的优缺点.
　　关键词： 逆矩阵 Hamilton—Caley 等价标准形 线性方程组
　　
　　矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求，从而达到简便、易求的目的.下面针对同一例题给出求逆矩阵的若干方法.
　　例1：设方阵A=1 2 32 2 13 4 3，求A.
　　解:1.Hamilton—Caley定理：设A是数域P上的n阶矩阵，f（λ）=|A-λE|=λ+aλ+…+aλ+a为A的特征多项式，则f（A）=A+aA+…+aA+aE=0，若A可逆，则a=（-1）|A|≠0，即A=-（A+aA+…+aA+aE）.由f（λ）=|A-λE|=-λ+6λ+6λ+2，故f（A）=-A+6A+6A+2E，即A=（A-6A-6E）= 1 3 -2- -3 1 1 -1.
　　2.（线性方程组法：若n阶矩阵A可逆，则AA=E，于是A的第i列是线性方程组AX=E的解，其中i=1，2，…，n，E是第i个分量是1的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B，其中B=（b，b，…，b），然后把所求的解的公式中的b，b，…，b分别用E，E，…，E代替，便可以求得A的第1，2，…，n列.设X=（x x x），B=（b b b），则x+2x+3x=b2x+2x+x=b3x+4x+3x=b?圯x+2x+3x=b-2x-5x=b-2bx=b+b-b
　　代入E，E，E，x=（1 3 -2）x=（- -3 ）x=（1 1 -1），即A=xxx .
　　3.等价标准形法：构造矩阵D=A EE 0.（1）对D的前n行（A，E）进行初等的行变换;（2）对D的前n列AE进行初等列变换，则经过有限次上述变换后，A EE 0初等行及列变换E CB 0，由此得A=BC.构造矩阵A EE 0通过初等行及列变换得B=1 0 20 1 -0 0 1，C=-1 1 01 - 01 1 -1，则A=BC.
　　本例还可使用伴随矩阵法，初等变换法同样可以得到相同的结论.从该例可以看出，对同一矩阵求逆矩阵方法多样，可以根据题目选择适当的方法求解.
　　
　　参考文献：
　　［1］陈逢明.逆矩阵的若干求法［J］.福建商业高等专科学校校报，2006，6.
　　［2］苏敏.逆矩阵的求法的进一步研究［J］.河南纺织高等专科学校学报，2004.2.