洞悉以几何变换为主的压轴题

　　代数几何综合题
　　考查方向：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中压轴题大多以代数几何题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合思想，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题.
　　■ （2011湖南长沙）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
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　　（1）求点B的坐标.
　　（2）求证：当点P在x轴上运动（点P不与点O重合）时，∠ABQ为定值.
　　（3）是否存在点P，使得以A，O，Q，B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
　　■ （1）如图1，过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（0，2），所以AB＝BO＝OA＝2. 在Rt△ABC中，AC＝■OA＝1，BC＝■，所以点B的坐标为（■，1）.
　　（2）因为△APQ，△AOB是等边三角形，所以AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠BAO＝60°. 所以∠PAO＝∠BAQ. 所以△PAO≌△QAB. 所以∠ABQ＝∠AOP＝90°. 故当点P在x轴上运动（点P不与点O重合）时，∠ABQ为定值.
　　（3）存在点P，使得以A，O，Q，B为顶点的四边形是梯形. 因为∠AOB＝60°，∠OBQ＝∠ABQ－∠ABO＝30°，所以AO与BQ不可能平行.
　　①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方. 此时如果AB∥OQ，四边形AOQB是梯形. 如图2所示，则∠BOQ＝∠ABO＝60°，∠OQB＝90°，∠OBQ＝30°.
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　　因为OB＝OA＝2，所以OQ＝1，BQ＝■. 由△PAO≌△ABQ可得OP＝BQ＝■. 所以P（-■，0）.
　　②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方. 此时，如果AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形.
　　如图3所示，此时∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°，又AB=2，可求得BQ=2■. 由（2）得△APO≌△AQB，所以OP=BQ=2■.
　　因此，存在点P，使得以A，O，Q，B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标为（-■，0）或（2■，0）.
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　　■ 这是一道动点问题、运动型问题，主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质. 解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质.
　　
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　　运动型专题
　　考查方向：运动型专题是近几年来中考数学的热点题型，这类几何型综合题信息量大，对于同学们获取信息和处理信息的能力要求较高，综合性强，往往涉及函数、直线型、四边形、圆等初中数学的重点考查对象. 解题时需用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.
　　■ （2011上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50，点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，且与边AC或BC相交于点E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin∠EMP＝■．
　　（1）如图4，当点E与点C重合时，求CM的长.
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　　（2）如图5，当点E在边AC上时，点E不与点A，C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域.
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　　（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A，M，E分别与△ENB的顶点E，N，B对应），求AP的长．
　　■ （1）因为∠ACB＝90°，所以AC＝■＝■＝40．因为S＝■·AB·CP＝■·AC·BC，所以CP＝■＝■＝24．在Rt△CPM中，因为sin∠EMP＝■，所以■=■．所以CM＝■CP＝■×24＝26．
　　（2）由△APE∽△ACB得■=■，即■=■，所以PE＝■x．在Rt△MPE中，因为sin∠EMP＝■，所以■=■． 所以EM＝■PE＝■×■x＝■x．所以PM＝PN＝■＝■＝■x．因为AP+PN+NB＝50，所以x+■x+y＝50． 所以y=－■x+50（0　　（3）因为EM=EN，所以∠EMP=∠ENP. 所以∠EMA=∠ENB.
　　①当点E在线段AC上时，如图5，△AME的顶点A，M，E分别与△ENB的顶点E，N，B对应，所以■=■. 所以x－■：■x＝■x：50－■x，解得x=22.
　　②当点E在线段BC上，如图6，△AME的顶点A，M，E分别与△ENB的顶点E，N，B对应，所以■=■. 因为BP＝50－x，所以EP＝■（50－x）. 所以EM＝■（50－x），MP＝■（50－x）. 所以BN＝50－x－■（50－x）. 所以x－■（50－x）：■（50－x）＝■（50－x）：50－x－■（50－x）. 所以x=42．
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　　综上可知，AP的长为22或42．
　　■ 本题主要考查了直角三角形、相似形、锐角三角比等相关知识，强化了锐角三角比的功能地位，充分使用了勾股数据组来减小运算量，分别在直角三角形中求解了线段长度. 求解函数解析式以及用相似形的多图来考查同学们的空间想象能力的命题出发点较好.