洞悉以一次函数为主的压轴题

　　应用一次函数知识解决最值问题
　　考查方向：对于一次函数y=kx+b（k≠0），在实际问题中，所列函数表达式中自变量的取值范围往往有一定限制，其图象为线段或射线，故其有最大值或最小值. 在求函数的最值时，我们应该先求出函数表达式，并确定出其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值.
　　■ （2011湖北咸宁）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=■x+4分别交x轴、y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．
　　（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标.
　　（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒■个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为点H，连结MP，MH，设点P的运动时间为t s．
　　①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值.
　　②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
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　　■ （1）A（-3，0），B（0，4）．当y=2时，■x+4=2，解得x=－■． 所以直线AB与CD交点的坐标为－■，2．
　　（2）当0＜t＜■时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即为△MPH的面积． 如图1，过点M作MN⊥OA，垂足为N． 由△AMN∽△ABO得■=■，所以■=■．所以AN=t． 所以△MPH的面积为■×2（3－t－t）=3－2t． 当3－2t=1时，t=1．
　　当■＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即为△PEH的面积． 如图2，过点M作MG⊥AO于点G，MF⊥HP交HP的延长线于点F，FM=AG－AH=AM×cos∠BAO－（AO－HO）=■t×■－（3－t）=2t－3，HF=GM=AM×sin∠BAO=■t×■=■t． 由△HPE∽△HFM得■=■，所以■=■．所以PE=■． 所以△PEH的面积为■×2×■=■． 当■=1时，t=■．
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　　综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，则t为1或■．
　　（3）BP+PH+HQ有最小值．连结PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．所以BP=CH.所以BP+PH+HQ=CH+HQ+2．当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小． 因为点C，Q的坐标分别为（0，2），（-6，-4），所以直线CQ的解析式为y=x+2. 所以点H的坐标为（-2，0）. 因此点P的坐标为（-2，2）．
　　■ （1）在没有给出动态的运动情况时，首先根据条件找出运动过程中有可能出现的几种情况.分类讨论D0XCJNEFD9VXBIJk732dcg==是不可缺少的.当确定出可能的情况时，将动态问题静态化.然后寻找各量与变量之间的关系. （2）三角形相似、同一锐角三角形的三角函数常常能将一组线段联系起来，是解决动态问题常用到的方法. （3）求三角形的面积时，底和高常常用与x或者y轴垂直的线段充当，线段的长还常常与点的横、纵坐标联系在一起. （4）无论何时，线段之和最短的问题，总要转化到两点之间线段最短，因此思考问题的方式就是如何转化了.
　　
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　　一次函数知识的综合应用
　　考查方向：（1）利用一次函数的性质解决生活中的优化问题；（2）利用一次函数的图象寻求实际问题的变化规律解题；（3）利用两个一次函数的图象来解决方案选择问题；（4）与方程或不等式（组）结合解决实际问题.
　　■ （2011江苏盐城）如图3，已知一次函数y＝-x+7与正比例函数y＝■x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
　　（1）求点A和点B的坐标.
　　（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从原点O出发，以每秒1个单位长的速度沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度沿x轴向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
　　①当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？
　　②是否存在以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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　　■ （1）根据题意得y=-x+7，y=■x，解得x=3，y=4，所以A（3，4）. 令y＝-x+7＝0，得x＝7． 所以B（7，0）.
　　（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4，如图4. 由S△APR＝S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得■（3+7）×4-■×3×（4-t）-■t（7-t）-■t×4=8，整理得t2-8t+12=0，解之得t1=2，t2=6（舍）.
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　　当P在CA上运动，4≤t＜7. 由S△APR=■×（7-t）×4=8，得t=3（舍）.
　　所以当t=2时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8.
　　②当P在OC上运动时，0≤t＜4，如图4，所以AP＝■，AQ＝■（4-t），PQ＝7-t. 当AP=AQ时，易得t=1，t=7（舍）. 当AP=PQ时，易得t=4（舍去）. 当AQ＝PQ时， 易得t＝1±3■（舍）.
　　当P在CA上运动时，4≤t＜7，过A作AD⊥OB于D（如图5），则AD=BD=4.
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　　设直线l交AC于点E，则QE⊥AC，AE＝RD＝t-4，AP＝7-t. 由cos∠OAC＝■=■得AQ=■（t-4）．当AP＝AQ时，7-t＝■（t-4），解得t=■. 当AQ＝PQ时，AE＝PE，即AE＝■AP，所以有t-4＝■（7-t），解得t=5. 当AP=PQ时，过点P作PF⊥AQ于点F，则AF=■AQ=■×■（t-4）.?摇在Rt△APF中，由cos∠PAF＝■=■得AF=■AP，即■×■（t-4）=■×（7-t），解得t=■.
　　综上所述，t=1或t=■或t=5或t=■时，△APQ是等腰三角形.
　　■ 动态几何问题，要关注运动的时间、路程和速度，以及点、直线的位置，得到相应的图形，再根据图形的性质，找出相应的关系式，从而解决问题.