突破半角问题

　　 ■在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=CD. 探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边三角形ABC的周长L的关系．
　　（1）如图1，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式为_____，此时■=_____.
　　（2）如图2，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，猜想（1）中的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.
　　（3）如图3，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=________（用含x，L的代数式表示）.
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　　■ 由于∠MDN=■∠BDC，因此我们可以考虑把两个小角∠BDM，∠CDN合并在一起，组成和∠MDN大小相等的新角.
　　■ （1）BM+NC=MN；■=■.
　　（2）猜想：仍然成立. 证明如下：如图4，延长AC至点E，使CE=BM，连结DE. 因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以∠DBC=∠DCB=30°. 因为△ABC是等边三角形，所以∠MBD=∠NCD=90°. 所以△MBD≌△ECD. 所以DM=DE，∠BDM=∠CDE. 所以∠EDN=∠BDC－∠MDN=60°. 在△MDN与△EDN中，DM=DE，∠MDN=∠EDN，DN=DN， 所以△MDN≌△EDN. 所以MN=NE=NC+BM. 所以△AMN的周长Q=AM+AN+MN=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB，而等边三角形ABC的周长L=3AB，所以■=■.
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　　（3）2x+■L.
　　 ■如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD，DE，EC三条线段之间的数量关系．
　　小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题.
　　（1）猜想BD，DE，EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明.
　　（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图6，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
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　　■ 因为∠DAE=■∠BAC，所以我们可以考虑能否把两个小角∠BAD，∠CAE合并在一起，组成和∠DAE大小相等的新角.
　　■ （1）DE2=BD+EC2. 证明如下：如图7，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，则△ACE≌△ABE′. 所以BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB. 在Rt△ABC中，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°. 所以∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°. 所以E′B2+BD2=E′D2. 又因为∠DAE=45°，所以∠BAD+∠EAC=45°. 所以∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°. 所以△AE′D≌△AED. 所以DE=DE′. 所以DE2=BD2+EC2.
　　（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立. 证明如下：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连结FE，则△AFD≌△ABD. 所以AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD. 又因为AB=AC，所以AF=AC. 因为∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠CAE=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠BAD）=45°+∠DAB，所以∠FAE=∠EAC. 又因为AE=AE，所以△AFE≌△ACE. 所以FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°. 所以∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°. 所以在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2.
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　　此类问题我们可以总结为：
　　天下三分（一角三分）
　　英雄半出（半角居中）
　　吴蜀联合（两小合并）
　　力抗强敌（与半抗衡）