辨析概率中的易错题

　　概率问题源于实际，贴近生活，学生乐学，但由于易混点多，学生理解不透彻，容易产生错误。下面对概率中的易错问题进行辨析，现举例如下：
　　一、缺乏应用概率知识的能力
　　例1著名历史故事《田忌赛马》中，田忌获胜的概率是多少？
　　错解：《田忌赛马》故事中，田忌靠聪明才智战胜齐王，所以田忌获胜的概率是P=1。
　　辨析：齐王和田忌各出上、中、下三匹马，均不知对方出马的顺序，比赛中共有以下6种情况等可能发生：
　　（1）上——上 中——中 下——下
　　（2）上——上 中——下 下——中
　　（3）上——中 中——上 下——下
　　（4）上——中 中——下 下——上
　　（5）上——下 中——上 下——中
　　（6）上——下 下——上 中——中
　　正解：事实上，田忌、齐王获胜的概率均为，平局的概率为。故事中，田忌是按照“上——中，中——下，下——上”方式战胜齐王的， 所以田忌获胜的概率P=。
　　二、 “等可能”与“非等可能”相互混淆
　　例2掷两枚骰子，求所得点数之和为5的概率。
　　错解：掷两枚骰子，出现点数之和有2、3、4、5、…12共11种，即有11个基本事件，所以P=。
　　辨析：以上11个基本事件不是等可能的，如“点数之和为2”只有1个基本事件（1，1），而“点数之和为5” 有4个基本事件（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）。
　　正解：掷两枚骰子共有36个基本事件，所以“所得点数之和为5”的概率P==。
　　三、 概念理解不清
　　例3一射手平均每射击10次中靶4次，每次射击是否击中互不影响，求在5次射击中，第2次中靶的概率。
　　错解：在5次射击中，第2次中靶的概率是P=（1-）4=0.05184。
　　辨析：此题错解的原因是相互独立事件的概念不清，在独立事件中，每一次试验事件是否发生互不影响；另外此题解答时还将“5次射击，第2次中靶” 与“5次射击，恰好第2次中靶”混淆。因为“5次射击，恰好第2次中靶”是指射击5次只有第2次中靶，其他4次都未中靶，它的概率是P=（1-）4=0.05184。
　　正解1：“5次射击，第2次中靶”是指只与第2次有关，与其他4次无关，所以在5次射击中，第2次中靶的概率P=。
　　正解2：“5次射击，第2次中靶”是指第1、3、4、5次射击可中可不中，概率均为1，所以在5次射击中，第2次中靶的概率P=1××1×1×1=。
　　四、处理不好排列与组合的关系
　　例4袋中有6个白球和4个黑球， 从中不放回地逐个摸出4个球，求摸出的4个球中恰有1个黑球的概率。
　　错解：从袋中不放回地逐个摸出4个球， 第一次有10种方法，第二次有9种方法，第三次有8种方法，第四次有7种方法，由乘法原理可知共有10×9×8×7种方法；“摸出的4个球中恰有1个黑球”有C14×C36种方法，所求概率P==。
　　 辨析：计算“不放回地逐个摸出4个球”的方法种数用的是排列；而计算 “摸出的4个球中恰有1个黑球” 的方法种数用的是组合。
　　正解1（用排列方法）：从袋中“不放回地逐个摸出4个球”有A410中方法，“4个球中恰有1个黑球”有C13·C36·A410种方法，所求概率P==。
　　正解2（用组合方法）：从袋中“不放回地逐个摸出4个球 ”，可以看成一次摸出4个球，有C410种方法，“摸出的4个球中恰有1个黑球”有C13·C36种方法，所求概率P==。
　　五、 “相互独立事件”与“互斥事件”相互混淆
　　例5某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在前四声被接的概率为多少？
　　错解：分别记“电话响第1、2、3、4声时被接”为事件A1、A2、A3、A4，则有P(A1)=0.1，P(A2)=0.3，P(A3)=0.4，P(A4)=0.1，则电话在前四声被接的概率为P=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.1×0.3×0.4×0.1=0.0012。
　　辨析：本题错误的原因是把互斥事件看成相互独立事件，事实上，“电话响第i声时被接”（i=1、2、3、4）四个事件彼此互斥而不是相互独立的，例如“电话响第1声时被接”是否发生影响到“电话响第2声时被接”发生的概率。
　　正解：P=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+
　　0.3+0.4+0.1=0.9。
　　六、在相互独立事件中，对“事件A前K-1次不发生而第K次发生” 与“事件A第K次是否发生都在第K次结束试验” 相互混淆
　　例6有一批数量很多的产品，其次品率为15%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止；否则继续抽查，直到抽出次品，规定抽查次数不超过10次。
　　（1）求抽查次数的概率?孜=4的概率；
　　（2）求抽查次数的概率?孜=10的概率。
　　错解：（1）抽查次数的?孜=4概率为P=
　　0.853。（2）抽查次数的?孜=10概率为P=
　　0.859×0.15。
　　辨析：（1）“抽查次数?孜=4”就是“前3次未抽到次品，第4次抽到次品”。本题错误地理解为“前3次未抽到次品，第4次必然抽到次品 ”，即把“第4次抽到次品”看成必然事件。（2）“抽查次数?孜=10”就是“前9次未抽到次品，第10次抽到次品或正品”。本题错误地理解为“前9次未抽到次品，第10次抽到次品 ”。
　　正解：（1）从这批产品中每次抽出一件检查的试验是相互独立的，每次抽出次品的概率为0.15，抽出正品的概率为0.85，所以抽查次数?孜=4的概率为 P=0.853×0.15。
　　（2）?孜=10表示前9次均未抽到次品，
　　而第10次抽到次品，也可以抽到正品，所以抽查次数?孜=10的概率为P=0.859×（0.15+0.85）=0.859。
　　七、忽视几何概型等可能性
　　例7在长为12cm的线段MN上任取一点P，并以线段MN为边作正方形，求这个正方形的面积介于16cm2与49cm2之间的概率。
　　错解：记事件A=“正方形的面积介于16cm2与81cm2之间”，则事件A对应区域的几何度量：μA=49-16=33cm2，以MP为边的正方形面积Ω对应区域的几何度量：μΩ=144cm2，由几何概型的概率公式P（A）===。
　　辨析：点P在线段MN上是等可能分布的，而以MP为边的正方形的面积的取值在0到144之间不是等可能分布的。例如取线段MN中点D，则点P在线段MD和DN上是等可能分布的，这时以MP为边的正方形面积分别在区间（0，36）和（36，144）上取值，显然不是等可能的。
　　正解：点P在线段MN上等可能分布的。记事件A=“正方形的面积介于16cm2与49cm2之间”，则事件A对应区域的几何度量：μA=-=3cm，点P在线段MN上所有可能的区域对应的Ω的几何度量为μΩ=12cm，由几何概型的概率公式P（A）===。
　　例8在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，在∠ACB的内部任作一条射线CP，与线段AB交于点P，求AP＜AC的概率。
　　错解：在AB上取AQ=AC，那么在∠ACB内作射线CP，即在线段AQ上任取一点P，作射线CP，那么AP＜AC的概率P===。
　　辨析：“在∠ACB的内部任作一条射线CP”是等可能的， 而“射线CP与线段AB的交点P”在线段AB上不是等可能的。例如设CM为∠ACQ的平分线，由题意知点Q不是线段Q中点， 这时点在线段AM和MQ上不是等可能的。所以解决几何概型的问题时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性，才能得出正确解答。
　　正解：在∠ACB内射线CP是等可能的，在AB上取AQ=AC，则∠ACQ=67.5°，故AP＜AC的概率P===。
　　（河南省医药学校）