解排列组合应用题常用的方法

　　很多同学对于排列组合的问题感到困惑，现就常用方法进行如下归纳：
　　一、相邻元素捆绑法
　　对于某些元素要求相邻的问题，可整体视这些元素为一个“大”元素与其他元素排列，再考虑这些元素本身是否要全排列，如果要，再对这些元素进行全排列。
　　例1.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的排法为____-种。
　　解析：因甲乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视为一人，与其余4人进行全排列有A55种排法，但甲乙两人要进行全排列有P22种排法，由分步计数原理可知共有240种排法。
　　二、不相邻元素插空法
　　对于要求某些元素不能相邻，其他元素将其隔开的问题，可以先把其他元素排列好，再将要求不相邻的元素插入它们的空隙或两端的位置。
　　例2.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问：有多少种不同的排法？
　　解析：先将6个歌唱节目排好，其排法为A66，这6个歌唱节目的空隙及两端共7个空隙，再排4个舞蹈节目有P47种排法，由分步计数原理可知任何两个舞蹈节目不得相邻的排法。
　　三、定位问题优限法
　　对于有限制条件的排列问题，首先考虑受限制的元素（或位置），再考虑其余元素（或位置）的解法，叫“优限法”。
　　例3.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复的四位数，其中能被5整除的四位数共有
　　个。
　　解：能被5整除的数的个位数字是0或5，因此优先考虑的特殊元素为0或5，优先考虑的特殊位置是首位与末位（首位不能为0）这样的四位数分两类：
　　第一类：形如▲▲▲0的四位数，其个数等于从1、3、5、7中任取2个数字，从2、4、6、8中任取1个数字，组成没有重复数字的三位数的个数，有C24C14A33=144个；
　　第二类：形如▲▲▲5的四位数，又分有0无0两小类，仿照第一类的分析无0的四位数的个数等于从1、3、5、7中除5以外再任取一个数字，从2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复的三位数的个数有
　　C13C24A33=108。有0的四位数其个数等于从1、3、5、7中除5外再任取一个数字，从0、2、4、6、8中任取0和2、4、6、8中的一个数，组成没有重复的三位数C13C14A33-C13C14A22=48个，由分类计数原理可知，符合条件的四位数有144+108+48=300个。
　　四、相邻问题一“元”法
　　对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素看作一个“元”与其他元素排列，然后在对“元”内部元素排列。
　　例4.7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
　　分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有A55种排法，而甲、乙、丙之间又有A33种排法，故共有A55A33种排法。
　　除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程法、分排问题“直排”法、 构造模型“隔板”法、局部问题“整体优先”法等，简单一些的问题可采用列举法，还可以利用对称性或整体思想来解题等。
　　（作者单位 河北省正定三中）