“子集”在命题推出关系中的应用

　　摘 要：数学是中小学必修课目之一，介绍“子集”思想在推出关系中的应用。具体是通过三个例题进行了解析：例1直接利用总结结论解题，例2从两个角度去求参数范围，例3则验证该结论在开放性习题中是否成立。
　　关键词：子集；命题推出关系；应用
　　
　　集合与命题一直紧密联系在一起，体现了知识的统一性，而集合中的子集与命题推出关系更是融为一体，所以领会子集与命题推出关系之间的联系，学会运用就至关重要，那么如何建立子集与推出关系之间等价关系，就成为重点问题，对于这类问题，我总结为“若命题p推出命题q，则p对应集合A是q对应集合B的子集”，以下面几个案例，具体阐述这一结论。
　　例1.设p：实数x满足x2-3x+2≤0，命题q：m+1≤x≤2m+4，若q是p的必要非充分条件，求m的取值范围。
　　解：设p=A=x│1≤x≤2
　　q=B=x│m+1≤x≤2m+4
　　∵q是p的必要非充分条件
　　∴p?圯q
　　∴B是A的真子集
　　∴m+1≤12m+4≥2，解得-1≤m≤0
　　评析：初步理解“子集”在命题推出关系中的作用，消除了许多学生化简命题后不知如何下手的困惑。解决此类问题一般是把充分条件，必要条件或充要条件转化为集合之间的关系。然后根据集合之间的关系列出关于参数不等式的求解。如果遇到命题否定类的推出关系，又该如何解决呢？我们从例2来探究一下这类问题的思路和解法。
　　例2.设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2-x-6≤0x2+2x-8＞0，其中?劭p是?劭q的充分不必要条件，求a的取值范围。
　　解法一：解：?劭p：x≤a或x≥3a
　　?劭q：x≤2或x＞3
　　设?劭p=A=x│x≤a或x≥3a
　　?劭q=Ｂ＝x│x≤2或x＞3
　　∵?劭p是?劭q的充分不必要条件。
　　∴?劭p?圯?劭q
　　∴A是B的真子集，
　　∴a≤23a＞3，解得1＜a≤2。
　　解法二：将p和q化简，
　　p=A=x│a＜x＜3a
　　q=B=x│2＜x≤3
　　由?劭p是?劭q的充分不必要条件，
　　我们可知q是p的充分不必要条件，
　　∴q?圯p
　　∴B是A的真子集。
　　∴a≤23＜3a，解得1＜a≤2。
　　评析：从此例的两种解法，我们可以总结为：在含有变量的命题中，凡是能使命题为真的变量的允许值集合，我们可以称为此命题的对应值集合，那么我们可以将命题推出关系与对应值集合之间的联系用下表表示
　　那么这个结论在开放性习题中是否也适应？这个结论在开放性习题中又该如何去用呢？我们通过例3感受一下。
　　例3.已知px│x2-8x-20≤0，qx│1-m≤x≤1+m
　　①是否存在实数m，使得x∈p是x∈q的充要条件，若存在，求出m的范围；
　　②是否存在实数m，使得x∈p是x∈q的必要不充分条件，若存在，求出m的范围；
　　解：①当x∈p是x∈q的充要条件时，p=q。
　　设p=A=x│-2≤x≤10
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m
　　∴1-m=-21+m=10，此方程组无解。
　　由于该方程组无解，所以不存在实数m，使得x∈p是x∈q的充要条件。
　　②若x∈p是x∈q的必要不充分条件，则
　　x∈q?圯x∈p
　　∴q是p的真子集
　　q=B=x│1-m≤x≤1+m，p=A=x│-2≤x≤10
　　∴1-m＞1+m或1-m≤1+m1-m≥-21+m≤10
　　解得m≤3。
　　即当m≤3时，x∈p是x∈q的必要不充分条件。
　　从以上几个例子可以看出，即使教材中比较难于理解的内容，只要我们融会贯通，将各章节数学知识高度融合，深入挖掘其蕴含的数学思想，我们就能找到学生易于理解的一般性结论，这也是数学老师的重要使命。
　　（作者单位 江苏省徐州睢宁王集中学）