从2011年高考看“计数原理”

　　摘要：本文结合考试大纲与2011年高考试题中的部分亮点题目，分析在新课程改革的背景下，“计数原理”在高考试题命制时的规律、特点及发展趋势.
　　关键词：2011高考；计数原理；命题规律；命题趋势
　　
　　2011年高考已然落下帷幕，随着新课程改革的进一步深入与实施范围的再扩大，本文将结合2011年全国各地高考试题的命制情况，探究“计数原理”在2011年试题命制上的一些特点以及今后的发展趋势.
　　
　　从考试大纲看“计数原理”
　　普通高等学校招生全国统考大纲（文理）对“计数原理”部分的要求：
　　1. 考试内容
　　分类计数原理与分步计数原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式；组合数的两个性质；二项式定理、二项展开式的性质．
　　2. 考试要求
　　①掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；
　　②理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题；
　　③理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题；
　　④掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．
　　注：新课程标准的考试大纲（文科）对这部分不做要求.
　　从命题特点看“计数原理”
　　?摇?摇分析2011年各地高考试题，对“计数原理”的考查有这样几个特点：
　　1. 贴近大纲和课程标准，着重考查基本概念.本部分在命题时，严格按照大纲和课程标准的规定出题，重在考查学生对几个原理和定理的掌握情况，没有太多的知识综合，即使综合其他部分来出题，所结合的知识点也相对比较固定.
　　2. 题型结构与分值相对稳定. 本部分试题考查的主要题型是选择题和填空题，个别试卷在概率大题中用到本专题知识，一般不会重复出现，前者分值大约4～5分，后者多为12分左右，新课标的文科试卷中没有本部分知识. 若出现创新元素，多为选择或填空最后一题.
　　3. 贴近学生的实际生活. 本专题的实际问题都是每个学生熟知的事物，对每个学生都是公平的，正如课程标准中所要求的——使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.
　　4. 试题含创新元素，学生答题需跳出常规思维. 这类题目不是通过背题型和知识能够解决的，而是需要一种深度的思考. 这也符合新科程理念下命题的核心指导思想：由知识立意到能力立意，以考查主干和核心知识为载体来考查数学的思维方法.
　　从2011年的高考数学试题看“计数原理”
　　试题展示一：
　　（湖北理15题）给出n个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图1所示：
　　
　　图1
　　由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案有_______种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_______种. （结果用数值表示）
　　本题答案21，43.
　　方法解析法1 当n=6时，最多可以有3个黑色正方形，用插空的方法放置，共C=4种不同的方法；有2个黑色正方形时，用插空的方法放置，共C=10种不同的方法；有1个黑色正方形时，用插空的方法放置，共C=6种不同的方法；没有黑色正方形时，有1种方法；所以当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案有4+10+6+1=21种.
　　第二问用间接法考虑. 当n=6时，共有不同的涂色方法26=64种，减去黑色正方形互不相邻的着色方案，还剩64－21=43种.
　　法2设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图1可知，a1=2，a2=3，a3=5=2+3=a1+a2，a4=8=3+5=a2+a3，由此推断a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种. 第二问同解法一，故分别填21，43.
　　试题点评本道题目以分类加法原理和组合模型为基础，采用着色问题的形式呈现题目，既可以用计数原理的知识解决，也可以从归纳推理入手，多角度考查考生的探究能力. 今年湖北的数学试题，在关注社会热点、强调应用意识、引入数学史料、创设开放情境、体现大众数学、拓展数学视野、考查探究能力等多方面不失时机地渗透新课程理念，为实现与明年新课程试卷的自然对接作了一些有益的尝试.为实现这一目的，一方面采用多元化、多途径、开放式的设计题目，全面检测考生观察、试验、联想、猜测、类比、探究等思维品质，另一方面有意识地对接新课程的大众数学思想，引导中学数学教学在知能并重的同时，拓宽学生的数学视野，提高学生的数学素养.本题系试卷中一亮点题目.
　　试题展示二：
　　（上海理文12） 随机抽取9个同学，至少有2个同学在同一月出生的概率是________（默认每月天数相同，结果精确到0.001）.
　　本题答案0.985.
　　方法解析根据分步乘法原理，9名同学的生日分布共有129种不同的情况，如果任两名同学的生日不相同，则共有A种不同的情况，由间接法知，至少有2个同学在同一月出生的概率是1－.
　　试题点评本题紧紧围绕教材，依照教材的例题改编而成，考察了学生对计数原理的掌握情况，同时本题也是概率论的经典问题，用以说明有些直观想法可能与实际结果相差很远，间接告诉人们要理性分析科学问题. 今年上海卷的考题，着重考查高中数学的基本知识与基本内容，本着有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则来设计. 如同本道题一样，题目大多立足于数学学科的特点，鼓励中学数学教学在合理的范围内对一些数学概念进行必要的分析和拓展，提高学生对数学的兴趣，希望学生认识到数学在科学中的重要性.
　　本题的另一个明显特点是考查考生对数学概念的领悟能力. 题目本身不难，大多数考生可以解答. 若不加分析就计算，可能就会失分. 要是先进行分析和探索，综合自己掌握的数学知识，找到合适的切入点，问题就迎刃而解. 此外，源于教材、加强基本知识教学、反对题海战术是题目设计的另一个出发点，如果我们能在高考试题的设计上更注重引导学生在做一定量的数学试题和提高学习兴趣之间寻找一个平衡点，这样就可以争取更多的中学课堂回归到素质教育的讲堂中来.
　　试题展示三：
　　（湖南理16）对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，当i=0时，ai=1；当1≤i≤k时，ai为0或1. 记I（n）为上述表示中ai为0的个数（例如1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则（1）I（12）=________；（2）2I（n）=________.
　　本题答案（1）2；（2）1093.
　　方法解析（1）因12=1×23+1×22+0×21+0×20，故I（12）=2；
　　（2）在2进制的k（k≥2）位数中，没有0的有1个，有1个0的有C个，有2个0的有C个，…，有m个0的有C个，…，有k－1个0的有C=1个. 故对所有2进制为k位数的数n，在所求式中的2I（n）的和为1•20+C•21+C•22+…+C•2k-1=3k-1. 又127=27－1恰为2进制的最大7位数，所以2I（n）=20+3k-1=1 093.
　　
　　试题点评本道题是新定义一种表示，要求考生运用二进制、排列组合、二项式定理、等比数列等基础知识以及分类与整合的数学思想解决问题.?摇 从题目设计的角度来看，此题注意了题目设制的多元化，全面考查考生的数学素养，即关注对“三基”（基础知识、基本技能、基本思想方法）的考查，又在设计试题时注重了从教材中引申一些新的数学概念、符号，要求考生运用所给的新概念或符号作进一步的运算、分析、推理来解决问题.
　　2011年是湖南实施新课程高考的第二年. 从本题的设计可以看出，今年试卷的命制在去年试卷命制的基础上进一步加大了改革力度，充分渗透新课改理念，在注重考查知识与技能的同时，加大对过程与方法的考查. 深化能力立意是数学命题一直以来的追寻目标. 在命制理念上突出全面的能力因素，多元化的能力层次；在命制构思上注重通性通法，坚持用数学基本思想方法解决问题；在试题呈现上突出新颖性.
　　试题展示四：
　　（湖南文16）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f（n）=n－k.
　　（1）设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为________；
　　（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为________.
　　本题答案（1）a（a为正整数），（2）16.
　　方法解析（1）由题可知f（n）∈N*，而k=1时，n>1，则f（n）=n－1∈N*，故只须f（1）∈N*，故f（1）=a（a为正整数）.
　　（2）由题可知k=4，n>4，则f（n）=n－4∈N*，而当n≤4时，2≤f（n）≤3，即f（n）∈｛2，3｝. 于是n∈｛1，2，3，4｝，f（n）∈｛2，3｝，由乘法原理可知，不同的函数f的个数为16个.
　　试题点评本道试题在设计上注重了对学生创新意识的考查，题目本身区别于传统计数原理题目的编排模式和常见应用背景，形式新颖，让考生有耳目一新的感觉. 创新意识是理性思维的高层次表现. 在数学学习和研究过程中，知识的迁移、组合及融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创新意识也越强. 因此，在数学考题的设计上，注意试题形式的多样性、考查内容的层次性、呈现问题的开放性与探索性等，以加强对考生创新意识的考查，是新课程改革的重要内容. 如何利用好高考命题的机会，对传统内容试题的设计力求推陈出新，对新增内容的试题设计关注与传统内容的交汇融合，以形成联系广泛、背景新颖、结构精巧的试题对于促进新课程改革的纵深发展有着重要的指导意义.
　　
　　从命题趋势看“计数原理”
　　计数原理是高中数学相对独特的一个知识板块，高考对该部分的考查主要从两个方面进行. 一是以选择题或填空题的形式有针对性地考查两个基本原理，排列、组合知识在实际计数中的应用，考查使用二项式定理解决二项式系数、项的系数以及简单的实际问题；二是在概率解答题中考查利用计数原理求解等可能性事件的概率，在综合解答题中的某个环节考查二项式定理的简单应用. 从近几年课标地区的高考试题来看，计数原理、排列、组合的考查以其应用为主（实际计数、计算概率），二项式定理的考查以其通项公式为主.
　　?摇预计以后的高考会延续以前的传统，考查计数原理、排列组合解决实际计数问题和在计算概率中的应用，考查二项式定理的通项公式的应用、考查二项式定理在简单问题中的应用.试题也将更贴近学生的实际生活和学生熟悉的社会生活.