一道高考最值问题的多角度探视

　　摘要：多角度地审视与探析高考试题，对于活化数学思维、整合数学知识和方法、提升教与学的效能，无疑具有重要的意义． 本文以一道二元条件最值问题为样本，从代数、三角、几何等不同角度对其进行多方位探视，以期对高考复习有所启迪与帮助．
　　关键词：最值；探视；多角度；方程法；函数法
　　
　　题目：若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是__________．
　　这是2011年高考数学浙江卷（文）的一道填空题，是高中数学中常见的二元条件最值问题． 许多学生对此题虽有似曾相识之感，但求解思路并不清晰，方法选择不恰当，给解答带来不小难度．事实上，本问题的解题策略有相当的开放性与发散度，可以很好地考查学生灵活应用数学知识与方法的能力． 本文从代数、三角、几何等不同角度，对此题进行多方位审视与探析，以期对此类问题的解答方法有一个清晰、透彻的认识．
　　探视1：方程判别式法
　　分析：令x+y=t，联合方程x2+y2+xy=1，得到关于x（或y）的一元二次方程，根据方程有解的充要条件，即判别式Δ≥0，可求出t的最大值．
　　解法：设t=x+y，则联立方程x2+y2+xy=1，消去y后得x2－tx+t2－1=0，由Δ≥0可解得－≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：此法简捷明快，运用学生熟知的一元二次方程的判别式来解决问题，是最易想到的方法．
　　探视2：参数判别式法
　　分析：对于左端是二元齐次式的方程，可考虑引入参数k，使y=kx，将方程x2+y2+xy=1转化为参数方程，通过判别式来求解．
　　解法：令y=kx，代入原方程得x2=，k∈R．设t=x+y，则有t=x+kx=x（1+k），t2=x2（1+k）2=，变换整理得参数方程：（t2－1）k2+（t2－2）k+t2－1=0． 当t2=1时，k有解，k=0；
　　当t2≠1时，由Δ≥0得0≤t2≤．
　　综上得0≤t2≤，从而－≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：参数判别式法是将二元函数t=x+y转化为关于k的一元方程式来解决，本质上仍是方程判别式法．
　　探视3：函数消元法
　　分析：二元条件最值问题的另一种基本解法是将二元函数t=x+y通过消元的方法转化为一元函数的值域来解决．
　　解法：视原方程为关于y的一元二次方程y2+xy+x2－1=0，由求根公式得y=，代入t=x+y，得t=． 由4－3x2≥0得-≤x≤. 设x=sinθ，θ∈－，，从而t=sinθ±cosθ=•sinθ±，θ∈－，，此函数的值域是－，，于是，x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：函数法是最基本、最容易想到的解法，但本题消元不易，且消元后的函数求值域的运算技巧性高，大多数学生难以为续．
　　探视4：三角代换法
　　分析：二元条件最值问题也可用三角代换法考虑，将条件“三角化”后代入目标函数，或将目标函数“三角化”后代入条件． 通过三角代换转化为关于θ的一元函数来解决，方法简便．
　　解法：由方程x2+y2+xy=1的结构特征，可配方为x+2+y2=1，引入参数θ∈R，使x+=cosθ，y=sinθ， 即x=cosθ－sinθ，y=sinθ.代入t=x+y，得t=x+y=cosθ+sinθ=sinθ+，θ∈R. 因此， －≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：本题也可将目标函数t=x+y“三角化”，即令x=tsin2θ，y=tcos2θ，代入x2+y2+xy=1，得t2=来求解． 这类方法最终思路仍是函数法，三角代换不过是实现函数化的手段．
　　探视5：均值换元法
　　分析：由于本题条件中含有xy项，若能将xy消去，转化为其他熟悉的表达式，则问题不难解决，其中一种手法就是运用均值换元构造出平方差．
　　解法：设t=x+y，则可设x=t+m，y=t－m， m∈R，t∈R，代入原方程得t2+m2=1，即t2=（1－m2），从而t2≤（当m=0时等号成立），从而－≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：此法本质仍是通过函数法解决问题，其闪光点是将变量由x，y换成了m，t． 本解法有一定的局限性，即条件方程中x2与y2的系数必须相同，否则仍不能将xy消去．
　　探视6：均值不等式法
　　分析：由于题设中含有x2+y2，xy，x+y这种式子，所以我们可以尝试使用均值不等式法求解．
　　解法：设t=x+y，则x2+y2+xy=1可化为（x+y）2－xy=1，即t2－xy=1，也即xy=t2－1． 又xy≤2=2=，所以t2－1≤，即－≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：本方法虽然简单，但须慎用，因为整个过程须关注等号成立的条件是否满足． 本题如果将目标函数改为求t=ax+by（ab>0，a≠b）的最值，就不简便了．
　　探视7：（非）线性规划法
　　分析：二元条件最值问题实质上是三元方程组F（x，y）=0，g（x，y）=z 中z的取值范围问题，从几何的角度看就是一个线性规划问题，F（x，y）=0是关于x，y的约束条件（可以是非线性的），z=g（x，y）是关于x，y的目标函数（可以是非线性的）．
　　解法：由题意知方程组x2+y2+xy=1，t=x+y 有解，因此直线l：y=－x+t与曲线C：x2+y2+xy=1在同一坐标系下有交点． 曲线C：x2+y2+xy=1的图象（可行域）为一个中心在原点，以y=－x与y=x为长轴和短轴所在直线的椭圆，它在以（0，0）为原点，以直线y=x与y=－x向上的方向为坐标轴的新坐标系x′Oy′下的方程为+=1．
　　观察图象可知，当直线l：y=－x+t与椭圆相切于第一象限顶点，时，t取最大值，相切于第三象限顶点－，－时，t取最小值－．
　　点评：本题的难点是曲线C：x2+y2+xy=1对大多数学生来说是陌生的，因为含有xy项，需要通过坐标旋转方可转化成我们所熟悉的椭圆标准方程．具体操作为：以原点为支点，将坐标轴旋转θ角，则新旧坐标变换方程为x=x′cosθ－y′sinθ，y=x′sinθ+y′cosθ， 代入曲线C：x2+y2+xy=1，得（1+sinθcosθ）•x′2+x′y′cos2θ+（1－sinθcosθ）y′2=1，令cos2θ=0，取θ=，则得曲线C：x2+y2+xy=1在新坐标系x′Oy′下的方程为+=1，然后在新坐标系下画出图象并擦去新坐标系，即可用（非）线性规划方法解决问题．
　　探视8：极坐标系法
　　分析：方程x2+y2+xy=1所表示的曲线是直角坐标系下的，若将其置于极坐标系下来考虑，则会展现出另一片精彩天地．
　　解法：设方程x2+y2+xy=1在直角坐标系下表示的曲线为C，以直角坐标系的原点为极点，x轴正向为极轴建立极坐标系，由互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ， ρ>0，θ∈R，得曲线C的极坐标方程为ρ2=，从而t=x+y=ρcosθ+ρsinθ=ρ（cosθ+sinθ），所以t2=ρ2（1+2sinθcosθ）==2－． 令m=1+sinθcosθ，则t2=2－，m∈，，从而t2∈0，，因此－≤t≤，即x+y的最大值为（此时x=y=）．
　　点评：视角不同，对同一个问题的思想观点就不同，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．” 此法另辟蹊径，角度新颖，将问题置于非常规参照系下考虑，解法颇具创意，令人耳目一新．
　　综上可知，本问题最大亮点在于解题思路的开放性、解题方法的多样性，以及求解过程中数学技能的重要性． 解法1—6符合高中生的认知水平；7与8视角新颖，要求较高． 从不同的角度多方位审视，运用不同的思路与方法求解，对于培养学生学习兴趣、整合高中数学知识和方法及提高教与学的效能，无疑是一种非常好的途径．