三个优美不等式猜想的证明

　　摘要：笔者利用初等数学方法证明了安振平教师提出的第1、2和15个优美不等式问题的证明.
　　关键词：优美不等式；初等数学方法
　　
　　安振平教师在《二十六个优美不等式》中提出了二十六个优美的不等式问题，吸引了大家的兴趣，其中第10个和第14个优美不等式已经分别由尚生陈和邹生书解决了. 本文将给出第1、2和15个优美不等式问题的证明.
　　
　　第1个优美不等式问题
　　设a，b，c为正实数，且a≥b≥c，求证：
　　++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 （1）
　　证明不等式（1）等价于证明－a+－b≥c－，
　　等价于证明+≥=+.
　　因为a≥b≥c，所以≥，≥，
　　从而≥，≥，因此+≥+=.
　　于是不等式（1）成立.
　　
　　第2个优美不等式问题
　　设a，b，c为正实数，求证：
　　++≥a+b+c.?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇BBQkbvCb5I0S4wpho/7V8Q==?摇（2）
　　证明不妨设a≥b≥c，不等式（2）等价于++≥a+b+c，等价于证明++≥a+b+c，
　　等价于证明－a+－b+－c≥0，
　　等价于证明++≥0，
　　等价于证明ab（a2-b2）－+ac（a2-c2）－+bc（b2-c2）－≥0，
　　即ab+ac+bc≥0.
　　因为a≥b≥c，，所以上式成立，因此不等式（2）成立.
　　
　　第15个优美不等式问题
　　设a，b为正数，n为正整数，求证：
　　a+b≤a+b≤a+b. （3）
　　证明不妨设a≤b，等式（3）等价于证明两个不等式：
　　a+b≤a+b，（4）
　　且a+b≤a+b. （5）
　　不等式（4）等价于证明a≤b.
　　又a≤b，所以=≤=，从而易得不等式（4）成立.
　　同理，不等式（5）整理得
　　a≤b
　　因为a≤b，所以≤，从而易得不等式（5）成立.
　　综上，不等式（3）成立.