再议谨防结论正确的差错

　　摘要：本文针对一位作者对另一位作者公开发表的一道题的解法的评议，指出这位作者的评议将一个正确的解法纠为错误的解法，分析其纠错而产生的错误的原因并给出反例，提出对于结论正确而解法错误的解题过程要仔细推敲，严防“重结果轻过程”带来的负面效应．
　　关键词：纠正为错；正确的差错
　　
　　问题提出
　　?摇石亮发表在《数学通报》上的文章《一个学习疑难问题的成因分析》，以问题“已知x∈［－1，1］时，f（x）=x2－ax+>0恒成立，求实数a的取值范围”为例，采取数形结合和分类讨论的解题教学方法，阐述“处理问题时切不可‘滑过’，而要‘循序渐进’”． 杨飞在人大复印报刊资料《高中数学教与学》上发表的文章《改进解题教学 减少学习疑难》一文中，对石亮的文章进行了尖刻的评议：“这样的文章给教学一线的数学教师感受是‘荒唐可笑’的.”并进一步质问“此问题一定要分类讨论吗？一定要数形结合吗？按二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类，学困生能做到吗？”他认为“此题本是一个简单问题，由于教师落后的解题教学，…，是教师人为制造的困难．” 他之后，给出该题的一种简单解答：
　　当x∈［－1，1］时，f（x）>0恒成立，等价于f（x）>0．
　　又f（x）min=minf（1），f（－1），f，所以f（1）>0，f（－1）>0，f>0，解得0　　对此，笔者对上述的评议有异议．
　　
　　问题解析
　　1. 该“简单解答”存在问题
　　问题出在f（x）min=minf（1），f（－1），f．
　　若f（1）>0，f（－1）>0，f>0， 则必有f（x）>0在x∈［－1，1］时恒成立；
　　反之，f（x）>0在x∈［－1，1］时恒成立，并非一定要f>0．
　　石亮对该题的处理并无不妥．
　　2. “结论正确，解法错误 ”的原因
　　实际上，由f（x）=x2－ax+>0（x∈［－1，1］）恒成立的必要条件f（1）>0，f（－1）>0， 得－　　3. 按“简单解答”得出的错误结论的例子
　　结合上述分析，只要使由f（1）>0且f（－1）>0所限定的抛物线对称轴不在区间［－1，1］内可举出反例，就能说明杨飞的解法确实是错误的. 如将函数改为f（x）=x2－ax++8． 按照杨飞的方法，由f>0，且f（1）>0，f（－1）>0，解得1－　　由f（1）>0且f（－1）>fSKgwP/wNlGUc3rtC/Gtkw==0，得－6　　当－60，所以f（x）>0在x∈［－1，1］时恒成立；
　　当2≤a<18，即1≤<9时，又f（1）>0，所以f（x）>0在x∈［－1，1］时恒成立；
　　当－20，得1－0在x∈［－1，1］时恒成立；
　　?摇综上可知，当－60在x∈［－1，1］时恒成立．
　　?摇这个问题中a的取值范围又是由f（1）>0，且f（－1）>0得到，能不能把它作为“简单解答”？显然也不能．
　　思考
　　对待数学解题中的差错可以包容些，但我们应指出来． 华罗庚先生曾通俗地说“数学工作者，从来没有不算错题的，…，错误是难免要发生的，但不能因此降低要求，既然出现了错误，就应该引以为教训．” 杨飞一文的 “纠正为错”，其“简单解答”能被n次“认可”，一个十分重要的原因是其“结论正确”． 有人认为杨飞一文的质量太低，不值得反驳，但鉴于该文被反复转载，笔者认为有必要提醒. 当前，各方都强调重教育要从“重结果轻过程”中走出来，我们能否从小事做起，从解一个具体的数学习题这个“渺小”的事做起？就数学教学而言，数学教学过程中“谨防结论正确的差错”要贯穿于课堂教学、作业批改、阅卷等全过程． 这既是数学理解的需要，同时教师也必须认识到，如果处理不当，它会强化学生所犯的错误． 教师应该在平实中反思，不断积累经验和教训，踏实落实新课程的教学理念．