矩阵中极小极大问题的研究综述

卢 曦，施维成

(1.江苏技术师范学院数理学院，江苏常州 213001;2.常州工学院土木建筑工程学院，江苏常州 213002)

矩阵中极小极大问题的研究综述

卢 曦1，施维成2

(1.江苏技术师范学院数理学院，江苏常州 213001;2.常州工学院土木建筑工程学院，江苏常州 213002)

在经典的Courant-Fisher定理基础上，对不同类型矩阵中的极小极大问题的研究成果作了综述，包括Hermite矩阵、复对称矩阵、复正规矩阵中的极小极大问题，为该类问题的进一步研究打下了基础.

Courant-Fisher定理;特征值;极小极大;奇异值

在矩阵理论中，Hermite矩阵的极小极大问题占有十分重要的地位，在概率论、控制优化，经济管理等诸多领域都得到了重要应用.本文分三部分总结了该问题:①Hermite矩阵中经典的Courant-Fisher定理，奇异值的极小极大问题和实对称矩阵中广义特征值的极小极大问题，并且推导出了一个结论;②一般复对称矩阵中的极小极大问题;③推广了Courant-Fisher定理，解决了复正规矩阵中的极小极大问题.

1 Hermite矩阵中的极小极大问题

定理1［1］(Courant-Fisher定理)设A∈Mn是具有特征值λ1≤λ2≤…≤λn的Hermite矩阵，k是给定的整数，1≤k≤n，那么

定理2［1］设A∈Mm，n，m≥n，设σ1≥σ2≥…≥σn≥0是A的有序奇异值，又设k是适合1≤k≤n的某个整数，则

定理3［2］设A，B为实对称矩阵且B正定，将A相对于B的广义特征值(都是实数)按大小顺序排列为λ1≤λ2≤…≤λn，Vk是Rn的任意k维子空间，1≤k≤n，则

定理4以及复正规矩阵中的极小极大问题为笔者研究成果.

定理4设A∈Mn，令A的特征值为λj(j=1，2，…，n)，且有λ1≤λ2≤…≤λn，若A满足AAH=A2，k是给定的整数，1≤k≤n，那么

证明设A∈Mn，满足AAH=A2，因(AAH)H=AAH，则可以知道AAH为Hermite矩阵.由对角化定理知，存在复数域上酉矩阵U，满足U－1=U－T=UH，使得

其中γ1，γ2，…，γn为AAH的特征值(皆为实数).又且

先证BH=B.下面分两种情况:

故B1可逆.

再由(4)式可知B2=0，代入(3)式，则

两边同乘以，则可以得到1，即

综合情况(1)和(2)可得BH=B.又A=UBUH，且U是酉阵，立得AH=A.

可知此时A为Hermite矩阵，可参照Courant-Fisher定理证得结论，详见文献［1］.

2 复对称矩阵中的极小极大问题

文献［3］对复对称矩阵中的极小极大问题进行了深入的研究，得出了一系列结论，包括定理5、定理6，以及推论1和推论2.

定理6设T是n×n复对称矩阵，T的奇异值按递减顺序排列为σ1≥σ2≥…≥σn≥0，若数k满足0≤k＜n，那么

3 复正规矩阵中的极小极大问题

笔者在文献［1］和文献［4～6］的基础上解决了复正规矩阵的极小极大问题.

定理7若A为n×n复正规矩阵，λj为A的特征值，λj=aj+ibj，j=1，2，…，n，且a1≤a2≤…≤an，k是给定的整数，1≤k≤n，那么

证明先证(5)式.存在酉矩阵U，使得

令y=UHx，于是

因此，如果任意给定w1，w2，…，wk－1∈Cn可得

这说明对任意k－1个向量w1，w2，…，wk－1，

为使等式成立，对向量wi作如下选取，记U=［u1，u2，…，un］，令wi=ui(i=1，2，…，k－1)，此时UHw1=(1，0，0，…，0)T= e1，UHw2=(0，1，0，…，0)T=e2，…，UHwk－1=ek－1，

结合(7)，(8)两式可得

又极值可以达到，故可以用max和min分别代替sup和inf，

同理可证(6)式.

具体证明类似于定理3.1的证明.

定理8A∈Mn，A=H(A)+iK(A)，且H(A)K(A)=K(A)H(A)，λj(j=1，2，…，n)为A的特征值，且Re λ1≤Re λ2≤…≤Re λn，则

具体证明类似于定理3.1的证明.

推论4A∈Mn，A=H(A)+iK(A)，且H(A)K(A)=K(A)H(A)，λj(j=1，2，…，n)为A的特征值，且Im λj1≤Im λj2≤…≤Im λjn，则

具体证明类似于定理3.1的证明.

［1］ HORN R A，JOHNSON C R.Matrix Analysis［M］.New York:Cambridge University Press，1985:119－130.

［2］ 孙杰.矩阵广义特征值的极值［J］.德州学院学报，2005，21(6):59－60.

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［6］ 袁晖坪.广义酉矩阵与广义Hermite矩阵［J］.数学杂志，2003，23(3):375－380.

LU Xi1，SHI Wei-cheng2

Review of Minimax Problems for Matrices

(1.School of Mathematics and Physics，Jiangsu Teachers University of Technology，Changzhou213001，China; 2.School of Civil Engineering and Architecture，Changzhou Institute of Technology，Changzhou213002，China)

On the basis of classic Courant-Fisher theorem，summarizes researching results of minimax problems of different types of matrices，including Hermite matrix，complex symmetric matrix，complex normal matrix.Lays foundations for further study of this issue.

Courant-Fisher theorem;eigenvalue;minimax;singular value

O151.21

A

1007－0834(2011)04－0025－04

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.04.009

2011－09－13

河海大学岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室开放基金项目(GH200904);常州工学院校级科研基金项目(YN1012)

卢 曦(1982—)，女，江苏常州人，江苏技术师范学院数理学院教师.