有质量弹簧的振动周期探讨

何连超

（解放军汽车管理学院，安徽 蚌埠 233011）

有质量弹簧的振动周期探讨

何连超

（解放军汽车管理学院，安徽 蚌埠 233011）

本文讨论了有质量弹簧的弹簧振子的动力学，运用哈密顿函数解出了振子的运动方程，并推导出振动周期与弹簧质量和阻尼的关系.

弹簧质量；振动周期；摩擦阻尼；哈密顿函数

1 引言

在许多物理问题中，为了使所研究的问题简单明了，往往忽略一些次要因素，比如我们在讨论弹簧振子的振动时，忽略了弹簧的质量和摩擦阻力，所以研究出的结果是近似的，但在某些情况下，上述忽略的因素又起着主导作用，故有必要进行研究.

2 忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期

如图1所示，忽略一切阻力，物体m0在弹性回复力F＝－kx的作用下作简谐振动，式中k为弹簧的劲度系数，负号表示力F的方向和位移x的方向相反，其微分方程为

图1

这就是未考虑弹簧质量的弹簧振子的振动周期.

3 考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期

我们假设弹簧是一根质量为m的弹性棒，其自然长度为L，如图2所示，忽略一切阻力.弹性棒的质量是均匀分布的，设棒上任一点到A点的距离为l（0≤l≤L）.

当振子m0产生一个dx的位移时，dm也将发生一个位移.显然dm的位移小于m0产生的位移，因为m0的位移是整个弹性棒L的伸长量，而dm的位移只是弹簧中任一点到固定点A的伸长量，且因0≤l≤L，所以dm的位移必然小于m0的位移dx.

图2

为了简单合理地算出dm的位移，我们假定弹性棒各部分所发生的位移与它们到固定A点的距离l成正比，则

当l＝0时，ds＝0即为固定点，l＝L时，ds＝dx，即为m0的位移；显然是合理的，那么dm这段微元的动能为

弹性棒在任一给定时刻的总动能为

则在任一时刻，整个系统的能量为

由式（2）可知，系统的哈密顿量为

由式（4）、式（5），得

其通解为

可见，周期T′与弹簧的质量有关.

4 考虑弹簧的质量、摩擦阻尼时弹簧振子的振动周期

若系统在流体中运动（如空气），阻力不能忽略，在振子速度不太大情况下，阻力与速度大小成正比，与速度方向相反，振动微分方程变为

式中，m′、k、f均为常量，f 为阻力系数.

将式（8）变形为

上式为二阶常系数线性微分方程，其特征方程为

解式（9）得

则式（8）的通解为

通常f2－4km′＜0，所以式（10）可变为

其中，D1＝C1＋C2， D2＝C1－C2，

5 结论

由以上我们讨论的结果可知，当我们考虑了弹簧的质量、摩擦阻尼后，弹簧振子的振动周期与弹簧的质量、摩擦阻尼都有关.以上我们讨论的是f2－4km′＜0的情形，若f2－4km′＞0，那么，振子就不能振动，即系统处于过阻尼状态.

比较（1）和（7）两式可知，考虑弹簧质量后的周期比不考虑弹簧质量的周期大.我们要明确的是，不要由的表达式而得出：考虑弹簧质量后的周期相当于无质量弹簧的一端系上质量的物体振动的周期.因为在计算有质量弹簧的振动周期时，我们假设弹性棒各部分所经过的位移正比于它们到固定点的距离，但这个假设只有在弹性棒各部分的拉力一样时才成立，而振动中弹性棒的拉力是随各部分的距离而变的，因此，所得出的也是近似的，但比不考虑弹簧的质量又进了一步.

［1］ M.Leclerc.大学物理.李国强译.北京：高等教育出版社，1990

［2］ 马文蔚.物理学.北京：高等教育出版社，2003

［3］ 周衍柏.理论力学.北京：高等教育出版社，1986

［4］ 孙春峰.弹簧的质量、材料及其几何性质对弹簧谐振子角频率的影响［J］.大学物理，1993

DISCUSSION ON THE VIBRATION PERIOD OF SPRING WITH MASS

He Lianchao
（Automobile Management Institute of PLA，Bengbu，Anhui 233011）

This paper discussed the dynamics of spring oscillator with mass，and solved the equation of oscillator motion with Hamiltonian function.We deduced the relation between vibration period and spring mass together with friction damp.

spring mass；vibration period；friction damp；Hamiltonian function

2010－09－21）

何连超（1978年出生），男，助教，汽车管理学院基础部.