含双参数的非线性二阶脉冲微分系统的正解

蔡静静

（同济大学 数学系，上海200092）

1 引言

本文研究下面二阶m点脉冲微分系统正解的存在性

其中λ＞0，μ＞0，ai＞0，bi＞0，ci＞0，di＞0，ai（t），bi（t）∈LP［J］，1≤p＜+∞，J=［0，1］，ρi=aici+bici+aidi＞0，ξj∈J′=（0，1），∈（0，+∞），i=1，2，j=1，2，…，m -2，fi，gi∈C（J×R+×R+，R+），Ii，k∈C（R+，R+）.

微分系统（1）是含有脉冲项的多点边值问题，它能模拟许多物理现象，如描述由多个不同性质的部分组成的金属导线横截面的震动情况，而脉冲描述的是物体在某个时刻有突然变化.由于其广泛的背景，这类方程的研究受到广泛重视［1-4］.最近，文献［1］利用不动点定理研究了下面的边值问题正解的存在性：

其中g（t）∈LP［0，1］，f∈C（［0，1］×R+，R+），笔者在条件 “f0=0，f∞=∞，或者f0=∞，f∞=0” 下得到问题（2）的正解.其中.然而不能解决当λ 变化及函数x 有跳跃时的情况.而本文是在参数λ及μ变化和函数x有多个跳跃点时利用不动点指数理论考察系统（1）正解的存在性.文献［2］得到了下面二阶m点边值问题的正解：

其中f连续.但实际问题中非线性项有时奇异甚至只是LP可积，此时文献［2］的方法不能解决这类问题.而本文研究的问题（1）中的非线性项有不同性质且其系数LP可积.

本文的主要思想来源于文献［1-2］等，并本质改进和推广了其中的结果，在非线性项有奇异性、函数含有脉冲点及参数可有不同取值范围情况下，不仅研究了正解存在性也讨论了正解不存在情况.

2 引理及一些结论

空 间PC1［0，1］：= ｛u∈C［0，1］：u′（t）在t≠ti处连续，且u′（t+i）和u′（t-i）存 在，u′（ti）=u′（t-i），i=1，2，…，n｝在范数‖x‖=max｛‖x‖∞，‖x′‖∞｝下为Banach 空间.定义PC1［0，1］×PC1［0，1］中范数‖（x，y）‖2=‖x‖+‖y‖.本文作以下记号

其中ψi（t）=bi+ait，φi（t）=ci+di-cit，t∈J是x″=0的线性无关解.对i=1，2，令

易知Gi（t，s）有以下性质：

本文对u，v∈R，i=1，2定义

其中μ=0或者μ=+∞.用g代替以上的f得到gi，μ和gμi的定义.记Fi（t，x，y）=ai（t）fi（t，x，y）+bi（t）gi（t，x，y）（i=1，2）.记2×2矩阵的行列式，其中a，b为2维列向量.aT为a的转置.

引理1［5］设K是实Banach空间E中的锥，对r＞0记.设A：全连续，且当时，则下面结论成立：

定义算子T：PC1［0，1］× PC1［0，1］→PC1［0，1］×PC1［0，1］如下：T（x，y）=（Aλ（x，y），Bμ（x，y））.则BVP（1）的正解等价于T的正的不动点.

引理2 设条件（A1），（A2）满足，则T：K×K→K×K是全连续的.

证明 由条件（A1），（A2）知，Aλ（x，y）（s）≥0，s∈J且 对于t∈Jθ有x（t）≥σ‖x‖，另一方面注意到对于t∈Jθ，s∈［0，1］，有G（t，s）≥σG（s，s），ψ（t）≥σψ（s），故由Aλ（x，y），Bμ（x，y）的定义得Aλ（x，y）（t）≥σ‖Aλ（x，y）‖，Bμ（x，y）（t）≥σ‖Bμ（x，y）‖，从而T：K×K→K×K.同文献［2］可证明T全连续.

3 主要结果

定理1 假设（A1），（A2）和（H1），（H2）成立，则当μ和λ足够大时BVP（1）至少有两个正解.

证明 首先考虑当条件（A1），（A2），（H1），（H2）成立时.令

即

另一方面，由f1，∞=+∞知存在R1＞1使得对于任意的及，有

故

另一方面，由g2，0=+∞知存在R3＞0且R3＜1 使得对于任意的及，有

由式（6），（9），（11）及引理1知BVP（1）至少有两 个 正 解和并 且

注 满足（H1）和（H2）的函数gi很多，如gi≡常数；

定理2 设（A1），（A2）和（H3）成立，则当μ充分大λ充分小时BVP（1）至少有一个正解.

证明 由f1，∞=+∞知存在L1＞0使得对任意的及有，令，则

其中ε0满足

因此由式（14），对于（x，y）∈∂Ω5有

故由式（15）和式（16），对于任意的（x，y）∈∂Ω5得到

由引理1、式（12）和（17）知T有一个不动点

定理3 设（A1），（A2）和下面的（H＊）成立，则当λ充分小时BVP （1）没有正解.

（H＊）存在n（s）∈L［J，R+］使得

证明 假设BVP（1）存在正解（x，y），则x，y∈K，取，则有

这是矛盾的，因此BVP（1）没有正解.

［1］ Zhang X，Feng M，Ge W.Multiple positive solutions for a class of m-point boundary value problems［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22（1）：12.

［2］ Feng M，Xie D.Multiple positive solutions of multi-point boundary value problem for second order impulsive differential equations［J］.J Computational and Applied Mathematics，2009，223（1）：438.

［3］ Lomtatidze A.Positive solutions of boundary value problems for second order ordinary differential equations with singularities［J］.J Differential Equations，1987，23（10）：1146.

［4］ Ren J，Ge W.Existence of two solutions of nonlinear m-point boundary-valve problems［J］.Beijing Institute of Technology，2003，12：97.

［5］ Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear problems in abstract cones［M］.New York：Academic Press，1988.