半平面中有限阶调和函数的积分表示

闫峰,韩建华,张艳霞

(1.邯郸学院数学系,河北邯郸 056005;2.邯郸职业技术学院教务处,河北邯郸 056005)

半平面中有限阶调和函数的积分表示

闫峰1,韩建华2,张艳霞1

(1.邯郸学院数学系,河北邯郸 056005;2.邯郸职业技术学院教务处,河北邯郸 056005)

修改的Poisson核的性质证明了右半平面中具有有限阶的调和函数可以用它在半平面边界上的积分表示出来,改进了一些相关研究成果.

调和函数;修改的 Poisson核;积分表示

MSC 2010:34A07

称为右半平面C+中的m阶修改的Poisson核[1],显然有P0(z,t)=P(z,t).利用文献[2-4]得到了关于它的一些结果,利用文献[5]中方法易证Pm(z,t)具有如下性质:当z=x+iy,x＞0,|z|≥4时,有

设u是右半平面C+中具有有限阶ρu的调和函数,则存在u(z)的共轭调和函数v(z),使得u(z)+iv(z)是C+中的解析函数.令f(z)=exp{u(z)+iv(z)},则对任意的R＞1,由于u(z)在半圆{z=reθi∶0＜r＜R,|θ|＜π/2}中有上界,所以对任意实数y,角极限log|f(iy)|=u(iy)几乎处处存在且有限[4-7],并且u(iy)在 R=(-∞,∞)上Lebesgue可测.其中则有如下结果.

定理1设u是右半平面C+中具有有限阶ρu的调和函数,则下列结论成立:

以下证明中A表示一个正常数,在不同式子中可代表不同的常数.

定理1的证明设u是右半平面C+中具有有限阶ρu的调和函数,则当r＞1时,由调和函数的Carleman公式[4]所以式(3)成立.从而定理中的(1)成立.

如果ρu＜1,则式(10)中的A(1+rρu-1)≤2A,故(2)成立.

从而定理1得证.

定理2的证明设整数m∈(ρu-1,ρu],α1,α∈(ρu-1,m],且α＞α1,利用修改的m阶 Poisson核的性质(2),对于0＜|t|≤2|z|,

函数X(z)是u(it)χ[-2T,2T](t)的Poisson积分,因此在C+中调和,且当z→iy0,X(z)→u(iy0).Sm(z,t)是一个调和多项式,满足Sm(iy,t)≡0,因此Y(z)也是一个调和多项式,满足Y(iy)=0(y∈(-∞,∞));同理由式(4)可证明Z(z)在C+中调和并且可以延拓成闭集中连续函数,满足Z(iy)=0,|y|≤T.所以由T＞|y0|+1的任意性,函数um(z)在C+中调和并且可以延拓为闭右半平面中连续函数,满足um(iy)=u(iy),(y∈(-∞,∞)).

设ω(z)=u(z)-um(z),由Schwarz[10]反射原理,存在一个整函数

[1]FINKELSTEIN M,SCHEINBER S.Kernels for solving p roblem of Dirichlettype in a half p lane[J].Advancs in Math,1975,18：108-113.

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[10]RUD IN W.Real and comp lex analysis[M].3rd edition.M cGraw-Hill：China Machine Press,1987.

Integral Representation of Harmonic Function of Finite Order in a Half-plane

YAN Feng1,HAN Jian-hua2,ZHANG Yan-xia1
(1.Department of Mathematics,Handan College,Handan 056005,China;2.Office of Academic Affairs,Handan Polytechnic College,Handan 056005,China)

U sing a p roperty of the modified Poisson kernel in a half-p lane,it is p roved that a harmonic function of finite order in a half-plane can be rep resented by its integral on the boundary of the half-p lane.

harmonic function;modified Poisson kernel;integral rep resentation

O 174.5;O 174.52

A

1000-1565(2011)04-0348-04

2011-03-04

闫峰(1971-),女,河北邯郸人,邯郸学院副教授,主要从事复分析方面的研究.E-mail：yan_tian310@126.com

王兰英)