新课程改革中微积分的概述及思考

裴 洁

(陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安 710062)

1 微积分内容进入我国高中教材中的曲折历程及其基本定位

微积分内容是否应该进入高中教材，我国的数学教育者一直对此颇有争议。1958年，我国数学改革，微积分成为高中新增内容，经过6年的实验，最终以失败告终。1961年，数学大纲中删除了微积分;1978年制定新大纲，又将微积分列入，但是在实际的教学中，很大一部分教师和学生都不能适应，教师教得费力，学生学得迷茫，1983年又把微积分作为选学内容，但是因为高考不考，微积分的教学形同虚设，老师和学生都对其视而不见。随着如火如荼的新课改，微积分再一次被学者瞄上，成为高中教材中的一部分，且在《普通高中数学课程标准(实验)》以下简称《课标》)中，对微积分重新进行定位，淡化形式教学，摈弃严谨的数学思维和精确的数学语言，打破了传统以来一直以极限为基础的引入方式，而从瞬时速度入手，用变量的方法体现极限的思想。这一重大课程改革满足了学生的学习需要，当学生因为自己思维的局限对新知识产生困惑时，他们心中有一种对知识强烈渴望的需要，这就需要教育工作者关注学生的理解方式，不断调整课程设计，帮助学生理解。

“高中数学课程是面向全体高中学生的，不是培养数学专门人才的基础课，高中数学课程强调数学的本质，突出主线，通性通法，需要削枝强杆”［1］。很多教师认为学习微积分在极限的基础上会让学生更容易理解，其实如果把极限作为导数的切入点，把导数作为一种特殊的极限去教授，会让学生思维混乱，在学习中出现夹生现象，甚至可能对微积分产生恐惧的想法，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解。“用导数反映的变化率思想研究初等函数的性质”［2］是《课标》中对微积分的定位。《课标》中对导数内容的定位是“不仅把导数作为一种规则，更作为一种重要的思想，方法来学习，要全面体现微积分课程的应用价值和教育价值”［3］。高中数学课程内容的教授要求高中教师们读懂高中学生的数学思维，对于有些数学知识，学生的认知是螺旋上升的，需要一定时间的积累和知识的储备才能完全理解。高中数学教学应该教会学生理解，想法设法把难理解的内容变得容易理解，而不是把明明可以直观化理解的内容给理论复杂化了。在微积分课程的改革中，体现了中国传统的说法“教学有法，教无定法，贵在得法”。

2 《课标》中微积分的课程设计及其基本理念

传统教材对微积分的内容编排是:数列极限—函数的极限—函数的连续性—导数—导数的应用—不定积分—定积分。这种编排顺序只是大学微积分内容的一种缩编，导数的概念是在精准的，严谨的，抽象的极限定义下引入学习的，形式化的教学让学生在微积分的开始学习阶段就被难以理解的极限概念牵扯，极易对后继微积分的学习造成障碍。高中生学习微积分课程的重点是微积分的基本思想，并不是被压缩了的整个微积分学科体系。现行北师大版的高中新课标教材中的微积分内容编排逾越了形式化的极限，采取了“无极限”的引入方式，其编排顺序为:变化率与导数—导数应用—定积分。“其关键在于不以一般极限理论作为铺垫，直接从变化率引入导数，当需要极限理论时再直观认识”。“《课标》中处理无极限导数的一个基本策略便是:让学生感受运动体在一系列间隔非常小的情景下平均速度的变化，抽象出瞬时速度(告诉学生这样一个得到瞬时速度的过程在数学中被称为求极限)，瞬时速度也就是位移函数的瞬时变化率”［4］。这一设计充分体现了《课标》中“强调本质，注重适度形式化”这一基本理念。学生通过大量的生活化实例，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，通过实际生活背景，明白瞬时变化率就是导数，用形象直观的逼近方法给出了导数的定义，强调学生的原有的数学认知，让学生在经历过程中感受导数思想和本质的认识和理解，体会到数学知识的认知是水到渠成的。直接通过实际背景和具体应用实例，让学生理解从平均变化率到瞬时变化率，从有限思维到无限思维，理解导数这种特殊的极限，使学生不仅对变量数学的思想方法有新的感受，发展思维能力，为进一步学习微积分打好基础，还能使学生能全面认识到数学的价值。

传统的微积分课程过分关注数学的形式化和严谨性原则，理论性较强，不适合高中学生的认知水平，过分的形式化和严谨性就像是学生的雷区，使得学生在学习的过程中小心翼翼，影响了思维的概括性和敏捷性，降低数学观察能力。《课标》中导数概念的生成过程是一个探究的动态过程，主张联系日常生活，从实际问题中的平均速度，平均变化率等概念，到函数的平均变化率，再到函数在一点处的变化率—导数，“把微积分内容呈现为学生容易接受的‘教育形态’”［5］，用适度的形式化打破传统微积分课程过于严密的推理过程，给学生留下较大的思维余地，给学生一个从“非形式化”到“形式化”的认知过渡，符合高中学生的认知规律，高中数学不能过度的形式化，以免将生动活泼的数学思维淹没在形式化的学术海洋里。形式化是数学的特征之一，但是中学数学中的形式化受学生特定时期的认知水平的限制，在高中数学课程中，适度形式化是必要的。

早在1982年就有学者提出在中学教授微积分总的想法是“理论上不做严格要求，但要有一定的推理训练，注意实际应用，同时借助几何主观理解”［6］。张孝达先生1991年在西南师范大学的报告中提出了“淡化概念”，后来陈重穆先生也提出“淡化形式，注重实质”［7］的观点.其实这些都是《课标》中“强调本质，注重适度形式化”这一基本理念的基础。学生对课程内容的理解不是一个思维顿悟的过程，而是一个时间和知识的积累的过程，在学习的开始阶段，可能学生对一个知识的概念掌握的并不明确，但这并不影响学生在学习的过程中去运用这个知识点，而在此过程中，学生头脑中会不断完善对这个知识点的理解。教师需要在学生理解的过程中为学生创设一定的条件，课程改革中强调本质，适度形式化就遵循了学生的这一积累说的理解规律。

3 关于新课程微积分的思考——初等数学思维和高等数学思维之间如何进行过渡

“韬尔把数学划分为三个不同的世界:具体化世界、过程概念化世界和形式化世界。在这三个世界之间，不仅有着表征方式的差异，也存在着认知方式的差异。”［8］，具体化世界包括感知，行为以及对感知和行为的反应;过程概念化世界主要涉及一些符号，诸如微积分中的符号;形式化世界包括定义和证明，它们导致了公理化理论体系的形成。按照韬尔的解释，这三个世界在认知上是按顺序发展的。中国课程改革的趋向和这一对数学三个世界的划分体系是有相通之处的，了解学生的已有思维和认知习惯，把握好学生的思维间的过渡，对学生更好的理解课程内容和课程改革的发展是大有益处的。

初等数学的思维向高等数学思维的过渡过程可以用这三个世界之间的递进关系来表示。以导数为例，导数的概念可以按这三个世界来划分:具体化的世界中，导数可以理解为在某一点处的瞬时变化率;在过程概念化的世界里，导数就是极限运算的结果;形式化的世界里，导数的定义为:设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数。

首先，在具体化的世界里，用形象直观的瞬时变化率去感知导数的概念，这是初等数学思维。然后过程化概念世界里从具体的动作开始，即极限的计算，从具体的计算逐步发展出和，积，商等符号化的形式，这个世界的符号的使用很重要，这些符号有着具体化世界和过程概念化世界的双重性质，伴随着学生的成长，这两个世界会逐步的健全，直至到第三世界，形式化世界，用科学严谨的形式化语言定义导数的定义，即到达高等数学思维。高中学生的认知水平对概念的掌握有一定的制约性，如高中生可以用具体化的世界的瞬时速度去理解导数，但对极限的定义表示难理解，大学生则可以用形式化世界抽象的极限定义去理解导数，这之间初等数学思维向高等数学思维的过渡就需要教师把握好。

从初等数学思维向高等数学思维过渡的过程中，教师应该给学生提供一定的帮助，可以设置一些易引起学生疑惑和惊奇的问题，在学生不能前进时给予指导，使学生在这三个世界中逐层递进，最终体会到茅塞顿开的愉悦，对提高学生的自主学习能力也是大有好处的。初等数学思维向高等数学思维过渡的过程在这三个世界之间是水到渠成的过程还是一个突然变化的过程是受很多因素影响的，如学生的日常经验，感知觉的差异，已有的知识背景等，而且在初等数学思维向高等数学思维过渡的过程中，可能不断会有干扰因素出现影响学生的认知，使三个世界的逻辑发生混乱。所以，从初等数学思维向高等数学思维的过渡是一件很不容易的事情，具体需要什么样的教学安排和教学准备，仍需要进一步的研究，以推动课程改革的迅速发展。

任何事物的变化都是渐进的，教育领域中也是如此，我国的数学教育正在经历着由应试教育向素质教育转变的重要改变，在这个背景下，课程改革势在必行。众多的教育专家和一线教师用他们的专业素质和教学智慧进行着课程改革，面对与时俱进的挑战，我们应该认真钻研尝试教学理论，用理论结合课程标准，结合新教材，结合学生的实际情况，中国的数学课程需要在保证必要的基础上，大力改革，以适应21世纪时代发展与科技进步要求的数学课程体系，提高数学教学水平。

［1］王尚志，张饴慈等.理解与实践高中数学新课程—与高中数学教师的对话［M］.北京:高等教育出版社9－10.

［2］张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论［M］.北京:高等科学出版社，2003.

［3］严士键，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读［M］.南京:江苏教育出版社，2004.

［4］宋宝和，房元霞.逾越形式化极限概念的微积分课程［J］. 数学教育学报，2004，13(4):54 －56.

［5］徐永琳.高中“课程”与“大纲”中微积分课程比较研究及启示［J］.数学通报，2007，46(7):22－25.

［6］曾宪源，方明一.关于在我国高中讲授微积分初步的探讨［J］.课程·教材·教法，1982(1):63－65.

［7］陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质［J］.数学教育学报，1993.2.4.

［8］鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程［M］.上海:上海教育出版社，2009.