含有轴向裂纹的圆柱薄壳的模态分析

王晓波，李凤琴

（1.新乡职业技术学院 河南 新乡453000；2.黄河水利职业技术学院，河南 开封 475003）

0 引言

随着经济和科技的发展，圆柱薄壳越来越成为常用的工程结构。 它不仅应用于火箭、潜艇、压力容器等，也应用于一些大型建筑物。 但是，由于材料或生产等各种原因，圆柱薄壳常含有各类裂纹。 裂纹改变了圆柱薄壳的力学性能，对结构的强度、刚度、抗振能力等方面都有重要影响。

对含裂纹的圆板或圆柱壳的研究，大部分是用理论或试验的方法，李天均、刘理等利用振动功率流方法对有周向表面裂纹的圆板进行了研究，分析了在集中应力作用下，裂纹位置与振动功率流的关系[1]。 石焕文、尚志远等用分区技术的瑞利-里兹方法，求解了含不同径向裂纹的周边界固定的圆板振动时的频率,并将理论计算值与实验结果进行了比较[2]。 许德刚、许俊萍等研究了裂纹对圆柱薄壳的固有频率和主振型的影响，并拍摄了全息振型图[3]。 由于模态分析是其他动力学研究的基础，因此对含有裂纹的圆柱薄壳进行模态分析具有重要意义。 使用有限元软件ANSYS 对结构进行模态分析，不仅计算快，而且可以得到清晰的振型图。 王晓波、苏会朋使用ANSYS 对碟簧的模态进行了计算，得到了固有频率和主振型图[4]。 本文试利用ANSYS 对含有轴向裂纹的圆柱薄壳进行模态分析，以期了解不同长度的裂纹对圆柱薄壳的固有频率和振动特性的影响。

1 建立圆柱薄壳体有限元模型

采用圆柱薄壳的长度为300mm，外径为150 mm，壁厚为1 mm。 建立轴向穿透裂纹，裂纹尖端呈圆角形，宽度为1 mm。其有限元模型采用Shell Elastic 4node 63 单元（如图1 所示）。 有限元定义的材料参数为：弹性模量E=201 GPa、泊松比μ=0.3、材料密度ρ=7 800 kg/m3。 其中，由于裂纹处的振型往往非常复杂， 所以对裂纹附近区域的单元进行单独划分，而且尺寸也小得多。裂纹附近的网格尺寸为0.0002 m，在远离裂纹处的网格尺寸为0.002 m。计算时的约束条件为两端固定，用子空间迭代法求解。

图1 圆柱薄壳体网格图Fig. 1 Cylindrical thin shell gridding

2 圆柱薄壳体振动计算分析

在正常情况下，当圆柱壳体自由振动时，一个固有频率对应着两个振型。 这两个振型的轴向半波数（m）与环向波数（n）相同，但相位成正交（如图2所示）。 当有裂纹时，圆柱薄壳有两种振动：裂纹周围的局部振动和壳体的原振动。

2.1 裂纹长度对局部振动特性的影响

图2 无裂纹的圆柱薄壳的振型Fig. 2 No-crack cylindrical thin shell vibration model

为了清楚了解裂纹长度对局部振动特性（固有频率和振型）的影响，分别对无裂纹以及不同长度裂纹的圆柱薄壳进行计算。 经计算，发现当裂纹较短时， 局部振动的固有频率与没有裂纹时的差不多，但当裂纹达到一定长度时，固有频率随着裂纹的增长而减小，振幅随着裂纹的增长越来越大，具体如图3 和图4 所示。

图3 局部振动的固有频率随裂纹长度变化Fig. 3 Natural frequency changes of partial vibration of different crack lengths

图4 局部振动的振幅随裂纹长度变化Fig. 4 Pure partial vibration amplitude changes of different crack lengths

对比在相同的轴向半波条件下不同裂纹出现局部振动的固有频率，当轴向半波m=3，裂纹长度分别为50 mm、60 mm、70 mm 时， 出现局部振动的固有频率f 分别为1 700 Hz、1 500Hz、1 420Hz。从这些数据可以看出，局部振动的固有频率是随着裂纹长度的增加而减小。

2.2 裂纹长度对壳体原振动的影响

由于圆柱薄壳含有的裂纹产生的局部振动，改变了壳体的原有振动，因此，要把局部振动和壳体的整体振动联系起来考察。 通过计算，发现当裂纹较短时，对应一些固有频率的振型又变得较复杂，有时裂纹处的振幅不大，远离裂纹的地方振动很微弱，裂纹附近的振动也很小；有时裂纹和裂纹附近处都会明显振动。 随着裂纹长度的增加，当裂纹长度为45 mm、轴向半波m=1、环向波n=9，固有频率f=1 635 Hz 时，在裂纹两端的振动减弱，远离裂纹地方的振幅无明显变化， 而裂纹附近的振幅明显加大。 这与局部振动和壳体原振动都不一样。 这种情况说明，当局部振动的固有频率和壳体原振动的频率相近时， 在裂纹附近引起了局部振动的叠加，出现了第三种振动。

在相同的轴向半波数和环向波数情况下，随着裂纹长度的增加，3 种振动同时出现的固有频率在减小，而且，裂纹长度从50 mm 增加到70 mm，频率下降得很快，然后随裂纹长度的增加，频率减小的幅度趋向减缓（如图5 所示）。 这说明，局部振动的固有频率、壳体的原频率和第三种振动的频率都是随着裂纹长度的增加而减小的。

图5 m/n=1/9 同时出现三种振动的固有频率随裂纹长度的变化Fig. 5 Natural frequency changes of three vibration of m/n=1/9 of different crack lengths

3 结语

（1）通过对含不同长度裂纹的圆柱薄壳进行模态分析，发现短裂纹对振动的影响要小。 当裂纹达到一定长度时，对振动的影响就会非常复杂，出现局部振动。 局部振动不仅有自己的振动特征，而且随着裂纹长度的增长，对壳体原振动的影响也会更显著。 特别是，局部的固有频率接近壳体的原频率时，又会出现第三种振动。 壳体原振动和局部振动的固有频率都有随裂纹长度增加而减小的趋势。 这是因为随裂纹的变长，壳体的刚度随之下降。

（2）利用有限元软件对结构进行模态分析，不但计算速度快、结果准确，而且可以灵活地对各种情况进行计算，降低成本。 该软件不仅可以应用于力学分析，还可以广泛应用于各种工程实际中。

[1] 李天均，刘理，刘士光. 圆板结构周向表面裂纹识别的振动功率流方法[J]. 海洋工程，2000，18(2): 68-73.

[2] 石焕文,尚志远，杨富社. 径向裂纹对周界固定薄圆板振动频率的影响[J]. 长安大学学报：自然科学版，2003，23(6): 62-65.

[3] 许德刚，许俊萍，沈亚鹏. 含裂纹圆柱薄壳的动态特性试验研究[J]. 力学与实践，2002，24(5): 43-47.

[4] 王晓波，苏会朋. 碟簧模态的ANSYS 分析[J]. 科协论坛，2001(8):101-102.