构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法

詹 森，王辉丰

（1.广东技术师范学院 计算机科学系 广东 广州 510665；

2.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法

詹 森1，王辉丰2

（1.广东技术师范学院 计算机科学系 广东 广州 510665；

2.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

给出构造奇数阶幻方、完美幻方和对称完美幻方的新方法及其证明.这些方法可分别得到个不同的奇数n阶幻方、完美幻方和对称完美幻方.

幻方；完美幻方；对称完美幻方

我们在文[1-5]讨论了构造幻方的各种方法，如加法、六字法和代码法等.在此基础上，我们利用文[1]的余函数进一步研究幻方的构造方法，得到新的更好的结果，分别得到(( n-1)!)2,(( n-1)!)2和2m(2m-1(( m -1)!))2个不同的奇数n阶幻方、完美幻方和对称完美幻方，而文[1]是局限于只能构造一个这三类幻方.下面我们对余函数[1]

（n、t是自然数，t|n 表示t被n整除，R（t）表示t除以n的余数）证明结果：

证明1）对n=2m+1（m=1，2，…自然数），当i=1，2，…，m时，由余函数定义知r（2i）=2i是一个2～2m公差为2的等差有限数列；当i=m+1，m+2，…，2m+1时，r（2i）是一个1～2m+1公差为2的等差有限数列.所以，r（2i）（i=1，2，…，n）是1～n的自然数.

对n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），当i=1，2，…，s时，r（4i）是一个4～4s公差为4的等差有限数列；当i=s+1，…，2s时，r（4i）是一个3～4s-1公差为4的等差有限数列；当i=2s+1，…，3s时，r（4i）是一个2～4s-2公差为4的等差有限数列；当i=3s+1，…，4s+1时，r（4i）是一个1～4s+1公差为4的等差有限数列.所以，对n=2m+1=2（2s）+1=4s+1（s=1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（4i）是1～n的自然数.同理可证，对n=2m+1=2（2s+1）+1=4s+3（s=0，1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（4i）是1～n的自然数.

综上所述，对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），当i=1，2，…，n时，r（4i）也是1～n的自然数.

2）对n=2m+1，m=1，2，…为自然数.

① 对n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…），当i=1，2，…，2t时，由余函数定义知r（3i）是一个3～6t公差为3的等差有限数列；当i=2t+1，…，4t时，r（3i）是一个2～6t-1公差为3的等差有限数列；当i=4t+1，…，6t+1时，r（3i）是一个1～6t+1公差为3的等差有限数列.所以，对n=2m+1=2（3t）+1=6t+1（t=1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（3i）是1～n的自然数.

② 对n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，2t+1时，r（3i）是一个3～6t+3公差为3的等差有限数列；当i=2t+2，…，4t+3时，r（3i）是一个1～6t+4公差为3的等差有限数列；当i=4t+4，…，6t+5时，r（3i）是一个2～6t+5公差为3的等差有限数列.所以，对n=2m+1=2（3t+2）+1=6t+5（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，n时，r（3i）是1～n的自然数.

③ 对n=2m+1=2（3t+1）+1=6t+3（t=0，1，2，…），当i=1，2，…，2t+1时，r（3i-1）是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列；当i=2t+2，…，4t+2时，r（3i-1）是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列；当i=4t+3，…，6t+3时，是一个2～6t+2公差为3的等差有限数列.所以，

至此预备定理证毕.我们还不难得到

推论对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），当i=1，2，…，n时，则r（2i+C），r（4i+C）仍是1～n的自然数；对n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，…的自然数），当i=1，2，…，n时，则r（3i+C），r（3i-1）仍是1～n的自然数（其中C为任意给定的自然数）.

我们分三部份讨论如下：

1 奇数阶幻方的构造法

第一步 安装基方阵.

对n=2m+1（m=1，2，…为自然数），设n阶基方阵[1]A位于第i行、第j列的元素为a（i，j）（i，j=1，2，…，n），取定a（1，m+1）=mn+1，其余n-1个基数

1，n+1，2n+1，…，（m-1）n+1，（m+1）n+1，…，（n-1）n+1

可随意安装到如下n-1个位置

基数安装完毕后，得到基方阵A的全部基元（或站点）.安装于第j列的基元记为ncj+1（j=1，2，…，n），在每一列站点ncj+1的下方（包括该站点），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n，取定d1=1，其余dk取遍2～n的自然数）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下顺序安装后继的数，安装至全列满为止.

第二步 对基方阵A施行双移，安装到另一个（待安装的）n阶方阵B.

把A中第一列每一行的数（即行标[1]）移至B中同一行相应于A的基元所在的位置，A中各行的其他元素顺移至B中，就得一个n阶方阵B.

这样，经过以上两步所得的方阵B就是一个n=2m+1（m=1，2，…为自然数）阶幻方（见定理1）.这种安装与文[2]的六字法有些不同，为了下文叙述方便起见，这里不把以上两步安装称为任安基元双顺法（六字法），而简称为余函数法.

由于基数安装结构可有( )n-1!种不同的选择，各列数的安装有(n -1)!种不同的选择，而移入方式也有其他可能的选择，所以，利用以上方法至少可构造出(( n-1)!)2个不同的幻方.

定理1由以上余函数法得到的n=2m+1（m=1，2，…为自然数）阶方阵B是一个幻方.

证明设基方阵A安装于第j列的基数为ncj+1（j=1，2，…，n），则

由上述行的表达式可得出基方阵A位于第i行、第j列的元素为

设方阵B位于第i行、第j列元素为b（i，j），因为方阵A第m+1-k（k=0，1，2，…，m）行的元素向右顺移k个位置，所以

综上所述方阵B是一个幻方.

例1 构造一个9阶幻方.

根据以上余函数法，取c5=4，c1=2，c2=5，c3=0，c4=7，c6=8，c7=1，c8=3，c9=6；dk=k，k=1，2，…，9，我们按以上两步，安装得基方阵A（略）和一个9阶幻方（略）.

2 奇数n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方的构造法

第一步 与上述方法相同.

第二步 对基方阵A施行双移安装到另一个（待安装的）n阶方阵B.

设方阵B中位于第i行、第j列的元素为b（i，j），方阵A中第m+1-k（k=0，1，…，m）行的元素向右顺移2k个位置，所以

以上安装第一步与六字法相同，第二步的顺移是用余函数来实现，为了区别于其他方法，我们将以上安装方法叫做余函数法.利用此方法可构造出(( n-1)!)2个不同的完美幻方.

定理2利用余函数法安装得到的n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶方阵B是一个完美幻方.

证明n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶方阵B位于第i行、第j列的元素为

由余函数的定义、预备定理及其推论得

第i行元素的和（求和过程中，2i-1和m+3i-1（i=1，2，…，n）都是固定的）为

即各行元素之和都等于幻方常数.

第j列元素的和（在求和过程中，j-1和m+j-1（j=1，2，…，n）都是固定的）为

即各列元素之和都等于幻方常数.

过b（h，1）（h=1，2，…，n）从左上角至右下角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），在求和过程中，n-h和n+m-h都是固定的，所以，其上各元素之和为

即从左上角至右下角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于幻方常数.

过b（h，n）（h=1，2，…，n）从左下角至右上角的对角线以及与其同方向的泛对角线上的元素b（i，j）而言，有r（i+j）=h（h=1，2，…，n），在求和过程中h-1和m+h-1都是固定的，所以，其上各元素之和为

即从左下角至右上角的对角线以及每一条与其同方向的泛对角线上的元素之和都等于幻方常数.

由以上事实可见，方阵B是一个完美幻方.

显然，由余函数法可得出(( n -1)!)2个不同的n阶完美幻方（其中n=2m+1，m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）.

例2 构造11阶完美幻方.

根据余函数法，取c6=5，c1=3，c2=6，c3=8，c4=4，c5=1，c7=0，c8=9，c9=10，c10=2，c11=7，d1=1，d2=5，d3=7，d4=10，d5=3，d6=8，d7=2，d8=9，d9=11，d10=4，d11=6.我们得到基方阵（见图1）和一个11阶完美幻方（见图2）.

图1 基方阵AFig.1Basic matrix square A

图211 阶完美幻方Fig.211-order perfect magic square

3 奇数n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶对称完美幻方的构造法

第一步取定a（1，m+1）=mn+1，注意到基数列中处于中心对称位置上的两个数，其和都等于（n-1）n+2，我们共有m对这样的基数，在每对基数中随意选取一个基数，将这m个基数随意安装到如下m个位置：

记a（m+1-k，k+1）=nck+1+1（k=0，1，2，…，m-1）；余下的m个基数安装到如下m个位置：

记a（m+1+k，n-k+1）=ncn-k+1+1（k=1，2，…，m），但必须满足条件ck+cn-k+1=n-1（k=1，2，…，m）.

基数安装完毕后，得到方阵A的全部基元（或站点）.

取定d1=1，dm+1=m+1，dn=n，注意到1～n的自然数列中处于中心对称位置上的两个自然数，其和都等于n+1，除d1=1和dn=n外，我们共有m-1对这样的自然数，在每对自然数中随意选取一个自然数，将这m-1个自然数随意排序依次记为dk（k=2，3，…，m）；余下的m-1个自然数记为dn-k+1（k=2，3，…，m），但必须满足条件：dk+dn-k+1=n+1（k=2，3，…，m）.

在第j列基元ncj+1的下方（包括该基元），自上而下按ncj+dk（k=1，2，…，n）的顺序安装相继的数至该列最下面的笫n行；接着，在该站点的上方，自上而下顺序安装后继的数，安装至全列满为止.由此得到基方阵A.

第二步 与余函数法的第二步相同，所得方阵B就是一个n阶对称完美幻方（见定理3）.

以上安装方法与余函数法的不同之处，在于对cj，dk的安装增加了对称的要求.我们不妨把以上方法称为对称·余函数法.

本文作者已对奇数阶幻方制作成一种“幻方生成器”，取得了专利权[6].对其他各种幻方也可设计、制作新的幻方生成器.

定理3用对称·余函数法得到的方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶对称完美幻方.

证明由定理2知，方阵B是一个n=2m+1（m为m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然数）阶完美幻方，我们只须证明方阵B是中心对称，则定理3就已成立.

元素b（i，j）=ncr（2i+j-1）+dr（m+3i+j-1）（i，j=1，2，…，n）的在其中心对称位置上的元素为

即方阵B的元素是中心对称的.由此可见，方阵B是一个对称完美幻方.

例3 构造一个13阶对称完美幻方.

根据对称·余函数法，取c7=6，c1=5，c2=2，c3=9，c4=12，c5=1，c6=4，c13=7，c12=10，c11=3，c10=0，c9=11，c8=8.d7=7，d1=1，d13=13，d2=9，d3=6，d4=3，d5=12，d6=4；d8=10，d9=2，d10=11，d11=8，d12=5.我们得到基方阵A（见图3）和一个13阶对称完美幻方（见图4）.

图3 基方阵AFig.3 Basic matrix square A

图413 阶对称完美幻方Fig.413-order symmetrical-perfect magic square

[1]詹森,王辉丰.奇数阶对称完美幻方的构造方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(4):396-402.

[2]王辉丰,詹森.关于构造三类奇数阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(1):12-15.

[3]詹森,王辉丰.关于构造高阶幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(3):250-254.

[4]詹森,王辉丰.构造镶边幻方的代码法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2010,23(2):152-157.

[5]詹森.关于构造幻方的新方法[J].海南师范大学学报:自然科学版,2009,22(2):131-132.

[6]詹森,王辉丰.一种幻方生成器:中国,CN2019559570[P/OL].(2011-08-31)[2011-09-09].http://www.sipo.gor.cn.

The New Structure Methods to Construct Odd Order Magic Square Perfect Magic Square and Symmetrical Perfect Magic Square

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangdong510665，China；
2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

The new structure methods and their theoretical proof to construct oddnorder magic square,perfect magic square and symmetrical perfect magic square were qiven.By using these methods,andof different magic squares of ordern;perfect magic squares,symmetrical perfect magic squares sev⁃erally can be obtained.

magic square；perfect magic square；symmetrical perfect magic square

O 157.6

A

1674-4942（2011）03-0265-05

2011-04-25

黄 澜