一种基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三参数反演方法

袁 焕，王宇超，石兰亭，胡自多，袁 刚

（中国石油勘探开发研究院西北分院）

0 引言

AVO反演技术能够提供高精度的有关储集层物性、孔隙流体及裂缝分布等方面的特征参数，甚至可用其直接检测油气，在勘探和开发中占据着越来越重要的位置［1-3］。

AVO反演经常采用双参数方程估计参数，算法虽稳定，但是参数估计会产生较大误差，并缺失了密度信息［4］。而密度信息可提供多种岩性、物性信息，具有极其重要的意义。AVO三参数反演能够提供密度信息，但该方法容易受噪音和采集过程中不确定因素的影响［5］，反演不稳定。为了提高AVO三参数反演的稳定性，需要在反演过程中进行合理的约束［6］，其中将先验信息纳入反演过程的方法取得了很好的效果［5-14］。

然而，随着油气勘探开发的不断深入，易勘探、成套的大型油气藏已越来越少，这就迫切要求高分辨率地震勘探开发技术必须要获得层间某些能体现隐蔽性油气藏属性的弱反射体信息［15］。Alemie等［12］提出的高分辨率Cauchy分布具有较高的分辨率，但是噪音较大时收敛速度较慢。笔者基于贝叶斯理论，将同一时间采样点的三参数互相关，并对纵、横波反射率和密度反射率序列采用修正Cauchy正则化约束项，提出了一种高分辨率AVO三参数波形反演方法，采用迭代算法求解，快速得到了较可靠的反演结果。

1 正演模型的建立

AVO技术的理论基础是Zoeppritz方程及其近似公式。笔者采用Aki&Richards近似公式进行正演模拟，其方程为式中：R（）为与角度有关的反射系数；为横波速度和纵波速度的比值；rp为纵波反射率；rs为横波反射率；rd为密度反射率；为分界面的入射角和透射角的平均值，rad。

将子波引入式（1），并将问题扩展到m个入射角道集、n个时间采样点，则可以得到多个入射角道集、多个时间采样点的褶积模型，简记如下：

式中：G为包含子波矩阵和入射角的线性化算子；m为参数向量；d为观测数据；n为噪音或者误差。式（2）即正演模拟函数。

2 反演目标函数的建立

对于参数正则化约束项的选择，比较常用的有P 范数分布、Huber分布、Sech 分布、Cauchy 分布［15］，如表1所示。通过比较发现，修正Cauchy分布不仅能够获得大幅值、体现主要层位信息的强反射体信息，同时还能够较好地保护隐蔽型油气藏的弱反射信息［11］。笔者基于贝叶斯理论，对反射率序列采用修正Cauchy正则化约束项，并将表示三参数关系的协方差矩阵纳入先验约束项，提出了一种改进的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三参数波形反演方法。噪音一般具白噪特征，可假设其服从零均值的高斯分布，模型参数服从某种先验分布，后验概率密度分布函数极值的最大值等同于求下式的最小解［12］

表1 几种常用的正则化约束项Table1 Some common typesof constraint criterion

对参数采用修正Cauchy约束准则，然后对修正Cauchy约束进行改进，以进一步提高反演结果的分辨率，可得

其中

式中：Di是 3×（3n）的矩阵；若 Ci非奇异，则其为第 i个时间采样点处三参数协方差矩阵，若Ci奇异，则其为单位矩阵。式（4）即为笔者提出的改进的修正Cauchy约束项。 当时，即为高分辨率 Cauchy 分布［12］。

图1为表1中各约束项准则及笔者提出的方法对反射体的敏感性比较。从图中可以看：①这些准则对反射体普遍敏感，不同程度地突出了反射体信息，其中笔者提出的方法对弱反射体敏感性更强；②当m值继续增大时，保证了增长的收敛性。

图1 几种约束准则比较（考虑到对称性，图中仅画出了正半剖面）Fig.1 Com parison of typesof constraint criterion

对于弱反射体信息（图2），从各稀疏准则对弱反射体的响应结果可以看出，各稀疏准则对其均有不同程度的压制，但笔者提出的方法响应最强，对弱反射体的敏感性最好，较好地保护了弱反射体信息。

图2 图1中弱反射体局部放大图Fig.2 Localamp lification response for weak reflection body

其中

若噪音互不相关，那么噪音协方差矩阵是对角矩阵，式（7）可简化为

3 模型测试

模型参数如图3红色实线所示，选用Ricker子波进行正演模拟。给出相同的初始模型，最大迭代次数设为30，反演参数向量与模型参数向量的均方根误差极小值所对应的迭代次数如表2所示。由表2可以看出，误差最小时笔者提出的方法迭代次数最少，收敛速度最快。在不同信噪比情况下，模型参数与反演结果之间的均方根误差值如图4所示。由图4可知，笔者提出的方法受噪音的影响最小，误差也最小，分辨率更高。对比笔者提出的改进的修正Cauchy分布和高分辨率Cauchy分布2种不同的约束方法，信噪比为10时，反演结果如图3所示，可见：①笔者提出的方法和高分辨率Cauchy分布约束方法都能较准确地反演出模型信息，特别是大的反射体信息；②笔者提出的方法相比于高分辨率Cauchy分布约束方法，对弱反射体敏感性更强，更有效地保护并恢复了弱反射体信息，其反演结果的分辨率更高。

表2 3种约束方法反演最小误差对应信噪比-迭代次数表Table2 Iterations responding tom inimum error at different signal to noise ratios

4 结论

笔者从贝叶斯反演理论出发，提出了一种改进的基于修正Cauchy分布的高分辨率AVO三参数波形反演方法。从数值模拟的结果看，该方法能较好地恢复弱反射体信息，更快速地得到高分辨率的反演结果。

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