复合二项分布下多险种的负风险模型

赵 娟，金燕生，刘征福

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

复合二项分布下多险种的负风险模型

赵 娟，金燕生，刘征福

(燕山大学 理学院 河北 秦皇岛 066004)

考虑了离散的复合二项分布下多险种的负风险模型.其中，保险公司的保费收入是一个负的常数，并且索赔过程为复合二项过程模型的多险种风险过程.通过构建有关索赔过程的期望方程给出了调节系数的定义，并通过鞅论得到了破产概率的Lundberg不等式(伦德伯格不等式)，运用更新理论与递归的手法获得了破产概率的关系式以及破产概率确切的表达式.而且，最后根据破产概率的具体表达式给出了关于破产概率的一个极限值.

负风险； 复合二项风险过程； 破产概率； Lundberg不等式

0 引言

在经典的复合二项过程中,保险公司单位时间的保费收入为一个常数.文献[1]给出了u=0的破产概率与一些u≥0的破产概率的计算公式.近年来，越来越多的学者开始关注负风险的情况，如文献[2-5].其中，生命年金或养老保险就是最典型的例子.文献[2]中的风险过程为相依的负风险的和,并对比结果研究了相互独立的险种之间是如何影响破产概率的.虽然这些离散的保险风险模型考虑了负风险过程,并最后得出了破产概率的计算公式和Lundberg不等式,但他们仅仅是研究了单险种的风险模型，而且在文献[5]中，各个时期保险代理人对投保人支付的年金为1单位元.

我们考虑的多险种负风险模型中,保险人的保费收入是一个负的常数，并且索赔过程为复合二项过程的模型.

1 复合二项分布下多险种负风险模型

复合二项分布下多险种的负风险模型是一个离散的过程,

并且它满足

(a)R(n)是保险人在第n个时期末初始准备金为u的盈余，u≥0.

(b)保险公司在每个周期向投保人支付年金c单位元，c是一个大于零的常数.

(c)m重险种在每个时期发生索赔的概率分别为p(1),p(2),…,p(m),而且不会发生索赔的概率分别为q(1)=1-p(1),q(2)=1-p(2),…,q(m)=1-p(m),m=1,2,….

(d)索赔序列{Xi(1)}i≥1,{Xi(2)}i≥1,…,{Xi(m)}i≥1分别为独立同分布的正随机变量序列，它们的概率分布分别为

pk(1)=P(X(1)=k),pk(2)=P(X(2)=k), …,pk(m)=P(X(m)=k),k=1,2,…，

均值分别为μ1=E(X(1)),μ2=E(X(2)),…,μm=E(X(m)).

而且索赔序列{Xi(1)}i≥1,{Xi(2)}i≥1,…,{Xi(m)}i≥1与复合二项过程{N1(n);n=0,1,2,…},{N2(n);n=0,1,2,…,},…,{Nm(n);n=0,1,2,…},m=1,2,…，相互独立.

Tu=inf{n≥0|R(n)=u+X(n)<0}表示初始准备金为u的破产时刻，

ψ(u)=P(Tu<∞)表示初始准备金为u的破产概率,则生存概率为ø(u)=1-ψ(u).

2 主要结果

定理1对复合二项分布下m重险种的负风险过程{R(n)=u+X(n),n=0,1,2,…}，存在g(r)使得

E[exp(-rX(n))]=exp(ng(r)).

证明{Xi(1)}i≥1，{Xi(2)}i≥1，…，{xi(m)}i≥1均为独立同分布的随机变量序列而且与复合二项过程{N1(n);n=0,1,2,…}，{N2(n);n=0,1,2,…}，…，{Nm(n);n=0,1,2,…}，m=1,2,…，相互独立.所以对于n=0,1,2,…；m=1,2,…,

E(exp(-rX(m)))kP(m)kq(m)n-kCnk].

令

则E[exp(-rX(n))]=exp(ng(r))，即证.

由于

定义1对复合二项过程的m重险种的负风险过程{X(n);n=0,1,2,…}，F={Fn;n=0,1,2,…}称为滤波，如果Fn=δ{X(m);m≤n}.

如果{T≤n}∈{Fn}，n≥0，随机变量T∶Ω→[0,∞)是一个停时.

引理1复合二项分布下m重负风险过程中，破产概率满足Lundberg不等式：ψ(u)≤e-Ru，其中R=sup{r>0;g(r)≤0}称为Lundberg上界，并且当m=1时R=R0.

证明根据定义Tu是一个停时.对任意的n0<∞,则n0∧Tu是一个停时.由定理1有：∀m≤n，

e-ru=Mu(0)=E[Mu(n0∧Tu)]=E[Mu(n0∧Tu)|Tu≤n0]P{Tu≤n0}+

E[Mu(n0∧Tu)|Tu≥n0]P{Tu≥n0}

≥E[Mu(Tu)|Tu≤n0]P{Tu≤n0}.

(1)

显然，在{Tu<∞}上,R(Tu)=u+X(Tu)≤0.因此，由(1)式，我们可得

从而可得

可见，以上结论是对c=1，m=1的情况[5]的一个推广.同理，以下引理亦然.

引理2在复合二项分布下m重险种的负风险过程中，令j，k为两个正变量且0≤k≤j，那么：

(i)ψ(j)=ψ(k)ψ(j-k-1);

(ii)ψ(n)=ψn+1(0).

证明(i)对∀0≤k≤j，

ψ(j)=P(j+X(n)<0,∃n≥0)

=P(j+X(n)<0,∃n≥0|k+X(m)<0,∃m>0)P(k+X(m)<0,∃m>0)

+P(j+X(n)<0,∃n≥0|k+X(m)≥0,∀m>0)P(k+X(m)≥0,∀m>0)

=P(j+X(n′)=-1,∃n′≥0|k+X(m′)=-1,∃m′>0)P(k+X(m′)=-1,∃m′>0)+0

=P(j-k-1+X(n′-m′)=-1,∃n′,m′≥0)P(k+X(m′)=-1,∃m′>0)

=ψ(j-k-1)ψ(k).

(ii)由(i)，很容易地可得ψ(1)=ψ2(0)，由归纳假设，则ψ(n)=ψn+1(0).

证明根据引理2的(ii)，则ψ(j)=ψj+1(0)，那么ψ(j)=e(j+1)ln ψ(0).令r=-lnψ(0)，可得

ψ(j)=e-r(j+1),ψ(0)=e-r.

(2)

在m重险种的负风险过程

中，当初始准备金为j，j=1,2,…，如果在第一个时期没有索赔发生，准备金变为j-c，如果在第一个时期发生了索赔量为x的索赔，准备金变为j-c+x.因此，由全概率公式可得

(3)

将(2)式代入 (3)式，得

(4)

将(4)化简整理，得

(5)

从而由(5)式我们得到一个正解R，因此我们有ψ(j)=e-R(j+1)，且ψ(0)=e-R.

当m=1时，式(5)的正解R是唯一的，并且与定理1中的R0相等.

[1] 龚日朝，杨向群．复合二项风险模型的破产概率[J]．经济数学，2001， 18(2)：95-99．

[2] 董迎辉，王过京．相关负风险和的模型的概率[J]．应用概率统计， 2004， 20(3)： 301-306．

[3] 赵朋，马松林．双负二项风险模型的破产概率[J]．合肥学院学报， 2007， 17(1)： 21-23．

[4] 赵培臣，王志攀，张春梅，等．双复合负二项风险模型的破产概率[J]．广西大学学报： 自然科学版，2007，32(z1)：69-71．

[5] Luo Kui，Hu Yijun．The negative risk model with the compound binomial process[J]．Journal of Math, 2009, 29(4)：309-412．

NegativeMultipleLineRiskModelwithCompoundBinomialProcess

ZHAO Juan, JIN Yan-sheng, LIU Zheng-fu

(CollegeofSciences,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

The negative multiple line risk model of discrete process was considered.Insurers’ premium income was a negative constant, and claims models were compound binomial risk process.By constructing the expectations about claim process, the adjustment coefficient of definition was given. Then in line with martingale theory, the Lundberg inequality of ruin probability was concluded, furthermore,ruin probability formula and the exact formula of ruin probability were obtained by the updated theory and recursion. And the limit of ruin probability was given at the end of the paper according to the exact formula of ruin probability.

negative risk； compound binomial process； ruin probability； Lundberg inequality

O 211.9

A

1671-6841(2011)03-0034-04

2010-04-28

河北省教育厅自然科学研究项目，编号Z2008136.

赵娟(1984-)，女，硕士研究生，主要从事保险精算研究，E-mail: juanz-84@163.com.