一类几何不等式的一个结果

刘 健

（华东交通大学 初等数学研究所，江西 南昌 330013）

一类几何不等式的一个结果

刘 健

（华东交通大学 初等数学研究所，江西 南昌 330013）

建立了三角形内部任一点到三边距离的一个不等式，提出并应用计算机验证了两个未解决的猜想。

三角形；内部点；锐角；不等式

1 主要结果

设P为ΔABC内部任意一点，P到边BC, CA, AB的距离分别为 r1, r2, r3。又设ΔABC的三边BC, CA, AB的长分别为a, b, c。1971年，Ju. I. Gerasimov首先发现了不等式[1]：

等号当且仅当P为ΔABC的外心时成立。1975年，L.Carlitz与M.S.Klamkin又提出了类似的不等式[2]：

其中

等号当且仅当P为ΔABC的内心时成立。

不等式(1)，(2)的证明都不困难，是有关 r1, r2, r3的两个基本不等式。本文作者对这两个不等式曾作过研究，在文献[3]中给出了不等式Gerasimov (1)的一个加强，在文献[4]中作者应用 Carlitz-Klamkin不等式(2)与其它结果导出了一个有许多应用的三元二次型几何不等式。

本文建立一个新的类似于(1)，(2)两式的不等式：

定理 设ΔABC三边BC, CA, AB上的旁切圆半径分别为 ra, rb, rc，则对内部任一点P有

等号当且仅当ΔABC为正三角形且P为其中心时成立。

2 定理的证明

引理1[5]设正数 p1, p2,p3与实数 q1, q2, q3满足

及

则对任意实数x, y, z有

引理 2 设ΔABC三边BC, CA, AB上的三条高线分别为 ha, hb, hc，外接圆与内切圆半径分别为R, r，则

证明 由恒等式：

可知不等式(6)等价于

令

则知上式等价于

展开整理即

注意到x, y, z均大于零，可见当

时，上式显然成立。当

时，要证(8)式只要证：

等价于

上式显然成立。

综上，不等式(8)对任意正数x, y, z成立，从而不等式(7)与不等式(6)获证。

引理3 以∑表示循环和，其余符号同上，则在ΔABC中有

证明 易知有恒等式：

将已知恒等式：

代入(10)式中，化简后就得(9)式。

证明 首先证明三元二次型不等式：

上式即

即

为证上式，根据引理1先来证：

于是只要证

注意到等式因此可知这个不等式等价于引理2的不等式(6)，所以不等式(16)得证。

其次，根据引理1与不等式(16)及与它相应成立的另两式可知，要证(15)式只需证：

由于有恒等式：

上式中∏表示表示循环和（下同此）。以这两式代入(17)式中，约简知(17)式的证明可化为

记ΔABC面积为Δ，则知上式即

两边乘以 (a bc)2/(4 Δ2)，又知上式等价于

即

上式两边除以4，以引理3的恒等式(9)及已知的恒等式：

代入(21)式，简化后知其等价于

所以只要证：

等价变形为

根据Gerretsen不等式[6]

与Euler不等式

以及已知不等式

可知上式成立，从而(17)，(14)两式得证。

最后，在不等式(14)中令

然后利用显然的恒等式：

与

得

亦即

两边除以2rarbrc，再利用

等，即可得定理的不等式(3)，且易知等号成立条如定理所述。

3 两个猜想

设ΔABC的三条中线 ma, mb, mc，则在非钝角ΔABC中成立半对称的线性不等式[7]

在这个不等式与定理的不等式(3)的启发下，经计算机验证，可有下述猜想：

猜想1 对锐角ΔABC内部任一点P有

另外，亦存在一个类似于不等式(3)的下述猜想：

猜想2 对ΔABC内部任一点P有

[1] GERASIMOV JU I. Problem 848[J]. Mat v skole, 1971, (4)： 86.

[2] CARLITZ L, KLAMKIN M S. Problem 910[J]. Math. Mag., 1975： 242-243.

[3] 刘健.一类几何不等式的两个定理及其应用[J].华东交通大学学报,1998,15(3)：75-79.

[4] 刘健.一个三元二次型几何不等式的应用与推广[A].不等式研究.拉萨：西藏人民出版社,2000.

[5] 刘健.一类几何不等式的两个结果与若干猜想[J].华东交通大学学报,2002,19(3)：89-94.

[5] O. Bottema,等.单土尊,译.几何不等式[M],北京：北京大学出版社,1991.

[6] Mitrinović D S, Pečarić J E and Volenec V, Recent Advances in Geometric Inequalities[M]. Kluwer Academic Publishers, 1989.

[7] 刘健.关于三角形长度元素的几个不等式[J].怀化师专学报,1998,17(2)：93-99.

（责任编辑、校对：赵光峰）

A Result of a Kind of Geometric Inequality

LIU Jian

(Institute of Primary Mathematics, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

In this paper, we establelish a new inequalities involving the distances from an arbitrary interior point to the three sides of a triangle. Finally, two unsolved conjectures checked by the computer are put forward.

triangle; interior point; acute-angle; inequality

2010-12-22

刘健（1963-），男，江西兴国人，华东交通大学助理研究员，研究方向为几何不等式。

O.178

A

1009-9115(2011)05-0017-03