行列式的二项展开式

刘建波，焦哲哲，李文毅

（东北大学 秦皇岛分校，河北 秦皇岛 066004）

行列式的二项展开式

刘建波，焦哲哲，李文毅

（东北大学 秦皇岛分校，河北 秦皇岛 066004）

给出了行列式的二项展开式，并通过实例阐明了公式计算和证明行列式带来的便利。

二项式；行列式；向量

牛顿二项式是数学各学科中均具有广泛应用的重要公式，具体表述为[1]

其中n是任意一个自然数，0≤k≤n，

n! = 1⋅ 2⋅…⋅n。在微积分中，对一元函数f( t)和g( t)的乘积求n（n≥1是自然数）阶导数，有如下的莱布尼兹公式[2]

其中 f(k)表示对函数f( t)求n阶导数。这个公式与牛顿二项式非常相似，区别在于将幂次数换成了求导阶数。类似地，在多元微积分中，对二元函数 μ= f( x, y)求n阶微分时，也有如下的公式[2]

值得注意的是，上面等式的第三项只是一个形式表达。

观察以上公式可以发现，

（1）式给出了两个数和的正整数次幂的展开公式；

（2）式将两个函数乘积的高阶导数展开成一个函数导数的乘积的和；

（3）式给出了二元函数微分的计算公式。

这些公式都使得计算变得简便可行，因此也很常用。

本文给出行列式计算中的一个二项展开式，也是一种形式表达，但是也能给行列式的计算和证明带来很大的简便。

1 主要结论

定理1 设

均为n维列向量，则

构成一个n阶行列式，记 α(n-k)β(k)表示第i列或者为 α，i或者为 βi，并且有n-k列为α，而其它列为β所组成的行列式，则

值得注意的是，这个公式只是一个形式表达式，同一个α(n-k)β(k)可能表示不同的行列式，这里只是表示有这么多种不同的取法。

证明 由[3]中行列式计算性质3有

2 应用

例1 计算行列式：

解 行列式的第j列可表示为 αj+βj，其中

如果行列式中出现两列或两列以上的jβ，则由行列式的性质知，行列式的值为0。所以，行列式可表示为：

例2 求证：

证明 D( x)的第j列可表示为 αj+βj，其中

如果行列式中出现两列或两列以上的jα，则行列式的值为0。所以，f( x)可表示为：

[1] 陈景林,阎满富.组合数学与图论[M].北京：中国铁道出版社,2000.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社,1991.

[3] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2003.

（责任编辑、校对：赵光峰）

The Binomial Expansion of Determinants

LIU Jian-bo, JIAO Zhe-zhe, LI Wen-yi

(Campus of Qinhuangdao, Northeastern University, Qinhuangdao 066004, China)

The binomial expansion of determinants was given, and the advantages were showen by some examples.

binomial; determinant; vector

2011-01-13

刘建波（1978-），男，河北唐山人，博士，东北大学秦皇岛分校讲师，研究方向为李代数、结合代数。

O151.22

A

1009-9115(2011)05-0015-02