广义弱亚正规算子

杨 桦，李艳军

（安阳工学院 数理学院，河南 安阳 455000）

✧数学研究✧

广义弱亚正规算子

杨 桦，李艳军

（安阳工学院 数理学院，河南 安阳 455000）

对0＜t＜1，引进了广义弱亚正规算子的概念，这类算子包含所有的弱亚正规算子。证出若T是广义弱亚正规算子，则T的谱半径与它的范数相等，并证出广义弱亚正规算子的点谱与联合点谱，近似点谱与联合近似点谱的非零点分别相同。

广义弱亚正规算子；点谱；联合点谱；近似点谱；联合近似点谱

设H是复Hilbert空间，其内积为(·,·)，L( H)表示H上有界线性算子的全体。设 T∈L( H )，若

在文献[2]中，Aluthge定义了弱亚正规算子即

有关弱亚正规算子的性质可参见文献[2]，[3]。本文定义了比弱亚正规算子更大的类即广义弱亚正规算子类：若

则称T是广义弱亚正规算子。

本文主要证明了广义弱亚正规算子的一些性质，如它的谱半径与它的范数相等，并证出广义弱亚正规算子的点谱与联合点谱，近似点谱与联合近似点谱的非零点分别相同。

1 广义弱亚正规算子的正规性

定理 1 设T是广义弱亚正规算子，kerT ⊆kerT*。若是正规的，则T=。

证明 因为T是广义弱亚正规算子且˜tT 是正规的，故

从而

因此在

故在ker|T|上

定理2 设T是广义弱亚正规算子，则

证明 T是广义弱亚正规算子，则

故

又由于

所以

2 广义弱亚正规算子的点谱

记算子T的点谱和联合点谱分别为：

定理3 若T是广义弱亚正规算子，则

证明 显然有

∀λ∈σp(T )- {0}，则存在

从而

令 y=|T |tx，由(1)，(2)知有∨{y}和(∨{ y})⊥约化T。因此在

上有故

于是有

因此

又由于

故

此即

亦即

从而

因此

从而 Ux=eiθx。又由于

因此 U*x = e-iθx ，进而

从而

故

因此

推论 1 若T是广义弱亚正规算子且Tx=λx，Ty=μy，λ≠μ，则(x, y)=0。

证明 由定理3知，

故

因为λ≠μ，因此(x, y)=0。

推论2 若T是广义弱亚正规算子，则

证明 由文献[4]知对任意的有界线性算子T都有

由定理3知：

从而得证。

3 广义弱亚正规算子的近似点谱

记算子T的近似点谱和联合近似点谱分别为：

定理4 T是广义弱亚正规算子的充分必要条件是

且

证明 T是广义弱亚正规算子

又由于

则结论成立。

引理1[3]设H是Hilbert空间，则存在一个Hilbert空间K⊃H和一个映射φ ： L( H ) → L( K)使得

（1）φ是一个一一的*表示；

（2）φ ( A) ≥0,∀ A∈ L( H)；

（3）σa(T ) = σa(φ( T )) = σp(φ(T)),T ∈L( H)。

引理 2[3]φ ：L( H)→ L( K)是Berberian一一的*表示，则σja(T) =σjp(φ( T))，∀T∈ L( H)。

定理5 若T是广义弱亚正规算子，φ是引理1中的表示，则φ(T)是广义弱亚正规算子。

证明

由定理4知φ ( T)是广义弱亚正规算子。

定理6 若T是广义弱亚正规算子，则

证明 由定理5知φ(T)是广义弱亚正规算子，又由定理3知

再由引理1及2知

推论3 若T是可逆的广义弱亚正规算子，则

[1] 张云.关于广义 Aluthge变换和正交投影的相关研究[D].陕西师范大学,2007.

[2] A. Aluthge, D. Wang. W-hyponormal operators[J]. Inter. Equat. Oper. Th., 2000, 36： 1-10.

[3] A. Aluthge, D. Wang. W-hyponormal operators II[J]. Inter. Equat. Oper. Th., 2000, 37： 324-331.

[4] D Xia. Spectral theory of hyponormal operators[M]. Boston：Birkhauser Verlag, 1983.

（责任编辑、校对：赵光峰）

The Generalized W-Hyponormal Operators

YANG Hua, LI Yan-jun

(Faculty of Science, Anyang Institute of Technology, Anyang 455000, China)

For 0＜t＜1, the class of the generalized w-hyponormal operators is introduced. This kind of operators contains all w-hyponormal ones. In this paper, it is shown that if Tis the generalized w-hyponormal, then its spectral radius and norm are identical, meanwhile, the nonzero points of its normal point spectrum, joint point spectrum, approximate and joint approximate point spectrum are shown to be identical.

the generalized w-hyponormal operators; the point spectrum; the joint point spectrum; the approximate spectrum; the joint approximate point

2011-03-01

河南省教育科学“十一五”规划课题（2010JKGHAG0102）

杨桦（1982-），女，河南周口人，硕士，河南省安阳工学院数理学院助教，研究方向为算子代数。

O177.1

A

1009-9115(2011)05-0001-03