基于Lp(a,c)算子定义的亚纯函数邻域的性质

周 伟

(淮阴师范学院数学科学学院，中国 淮安 223300)

近年来，基于不同的线性算子，有关p叶解析或亚纯函数类的性质和特征被广泛研究，请参阅文献[1～4]．有学者在利用线性算子Lp(a,c)定义亚纯多叶函数的基础上，较为详尽的研究了以原点为极点的、具有正系数的亚纯函数的新子类的性质，并得出了一些新的结论[5-7].文中在利用线性算子Lp(a,c)定义亚纯函数邻域概念的基础上，进一步探究邻域与亚纯函数新子类的一些包含关系.

1 预备知识

定义1设∑P表示形如

(1)

定义2设f∈∑p，关于∑p的线性算子Lp(a,c)定义如下：

Lp(a,c)f(z)=φp(a,c;z)*f(z).

易验证Lp(a,c)算子满足：

z(Lp(a,c)f(z))′=aLp(a+1,c)f(z)-(a+p)Lp(a,c)f(z).

由线性算子Lp(a,c)定义亚纯多叶函数的新子类如下.

定义3若f∈∑p且满足

(2)

其中z∈E；-1≤B

(3)

定义4设f∈∑p且形如(1)式，定义f的δ邻域为

-1≤B

(4)

设f∈∑p且形如(3)式，定义

0≤B

(5)

2 相关引理

为证明定理需要，给出以下引理.

(6)

(7)

时，结论是精确的.

3 主要结论及证明

以下假定a>0且c>0.

定理1设f∈Ωp(a,c;A,B)，且f形如(1)式,若f满足

则Nδ(f)⊂Ωp(a,c;A,B).

证由(2)式可得g∈Ωp(a,c;A,B)当且仅当

上式等价于

(8)

其中

(9)

由(9)式可得

n,p∈N.

若δ不能再减小，则结论是精确的.

证利用和定理1相同的证明方法可证得

余下部分的证明类似于定理1的证明. 下面考虑精确性.取

(10)

由定理的假设可得

n=p,p+1,…;p∈N.

利用(4)式可得

易证常数1是最精确的. 证毕.

类似于证明定理2的方法易推证下面结论成立.

参考文献：

[1] SRIVASTAVA H M, PATEL J. Some subclasses of multivalent functions involving a certain linear operator[J].J Math Anal Appl, 2005, 310(1):209-228.

[2] NOOR K I. Some classes ofp-valent analytic functions defiened by certain integral operator [J]. Appl Math Comput, 2004,157(3):835-840.

[3] LIU J L, SRIVASTAVA H M. Subclasses of meromorphically multivalent functions associated with a certain linear operator[J].Math Comput Modelling, 2004, 39(1):35-44.

[4] LIU J L, SRIVASTAVA H M. Classes of meromorphically multivalent functions associated with the generalized hypergeometeic function[J].Math Comput Modelling, 2004, 39(1):21-34.

[5] GOEL R M, SOHI N S. A new criteron forp-valent functions[J]. Proc Amer Math Soc, 1980,78(3):353-357.

[6] 韦 叶，陈建兰，刘金林.由线性算子定义的一类p叶解析函数[J].扬州大学学报, 2006, 9(1):5-8.

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[8] 程艳莉，刘金林.一个线性算子及其相关的亚纯多叶函数类[J].扬州大学学报,2004, 7(2):10-12.

[9] LIU J L. On a subclass of meromorphicp-valent functions defined by certain linear operator [J]. J Math, 2001, 21(3):276-280.

[10] 程艳莉.具有正系数的亚纯p叶函数的一个子类[J].甘肃联合大学学报，2004,18(3):16-19.