(3+1)维KP方程的Wronskian解

司军辉

(周口师范学院 数学系, 河南 周口 466001)

1 标准的(3+1)维KP方程

(3+1)维KP方程的一般形式为

(1)

其中,α,β,γ,δ为非零常数且β>0,x,y,z为空间自变量,t为时间.

目前,已有多种方法求解非线性偏微分方程，Hirota双线性方法是其中一种非常有效的方法[1-4],文献[5]利用Hirota双线性方法研究了方程(1)在α=-6,β=1,γ=-3,δ=0的情形,并得到了孤立波解及Wronskian解.文献[6]给出了方程(1)α=-6,β=1,γ=δ=3的Lump解,并考虑了该解的演化,得到一些有意义的结论.文献[7]用Hirota双线性方法研究了方程(1)α=6,β=1,γ=-1,δ=0 的情形,并得到了孤立波解.本研究考虑一般情况下方程(1),给出了方程的标准形式,在此基础上,得到了(3+1)维KP方程存在行列式形式的Wronskian解.

对方程(1)作变量代换:

并略去变量上的撇号，可将方程(1)化为标准的KP方程为

(2)

其中,ε1=sign(δ)，ε2=sign(γ)，sign(x)为符号函数.

若ε1,ε2>0, 称(2)式为KP-I方程；若ε1,ε2<0, 称(2)式为KP-II方程.

2 (3+1)维KP方程的双线性导数形式

引入变换u=wx=-2(lnf)xx,可将(2)式化为

ffxt-fxft-ffxxxx+4fxfxxx-3fxx2+3ε1ffyy-3ε1fy2+3ε2ffzz-3ε2fz2=0,

(3)

(4)

3 (3+1)维KP方程的Wronskian解

首先定义函数：设函数φj=φj(t,x,y,z)(j=1,2,…,n)在t≥0，-∞

以φj与其前n-1阶导数为元，构造如下Wronskian行列式

(5)

引理1[5]设M为n×(n-2)阶矩阵,a,b,c,d是n维列向量,则有

|M,a,b||M,c,d|-|M,a,c||M,b,d|+|M,a,d||M,b,c|=0.

引理2[5]设αj(j=1,2,…,n)是n-维列向量,γj(j=1,2,…,n)是n个不为0的实数,则有

其中，γαj=(γ1α1,j,γ2α2j,…,γnαnj)T.

现在我们考察Wronskian行列式f对x的各阶导数,得到:

(6)

行列式f对y,z,t的导数可以转化为对的导数,因此有:

(7)

将(6)式和(7)式代入(3)式并由引理1、引理2、引理3,经过复杂运算可得：

由此可见，Wronskian行列式f满足(3)式,取

所以，我们可得到方程(1)的Wronskian解为

u=-2(lnf)xx.

4 结束语

本文主要是对给出的(3+1)维KP方程的一般形式,经过变换,得到一个标准的(3+1)维KP方程，进而得出其双线性形式，最终得到了(3+1)维KP方程Wronskian解，其方法也适用于其他孤子方程.

参考文献：

[1] Hirota R.The Direct Methods in Soliton Theory[M].Cambridge:Cambridge University press,2004.

[2] Hase Y，Hirota R，Ohta Y J.satsuma,Soliton solutions of the Mel’nikov equation[J].Phs Soc Jpn,1989(58):2713-2720.

[3] Senthil C K,Radha R,Lakshmanan M.Exponentially localized solutions of Mel’nikov equation[J].Chao Soli Frac,2004(22):705-712.

[4] Geng X G,Ma Y L.N-soliton solution and its Wronskian form of a (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation[J].Phys Lett A,2007(369):285-289.

[5] 陈登远.孤子引论[M].北京:科学出版社,2002.

[6] 张磊,郭鹏, 吕克璞.(3+1)维KP方程的精确孤子解[J].西北师范大学学报,2004,40(2):35-36.

[7] 石玉仁,杨红娟,吕克璞,等.(3+1)维KP方程的Bäcklund变换及其精确解[J].西北师范大学学报,2006,42(4):34-35.