柱面的由一些重要曲线刻画的特征

汪志宾, 张 量

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003)

柱面的由一些重要曲线刻画的特征

汪志宾, 张 量

(安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003)

通过对曲线副法线曲面的研究,得到了柱面的由一些重要曲线刻画的特征.

柱面;副法线曲面;测地线;曲率线

1 引 言

测地线在微分几何的研究中占有重要地位.根据测地线的定义,容易知道正则曲线α必是其副法线面Σ上的一条测地线.注意到α是直母线的一条正交轨线,自然要问:如果除α外还存在直母线的另一条正交轨线也是Σ的测地线,此时Σ有何性质.我们将证明此时Σ必为柱面.事实上,我们得到了更一般的结果.

定理1 设Σ为α的副法线面.若存在一条非直母线的测地线(C),且其上每点均沿α上对应点的副法向量方向平移常数c个单位,得到的另一曲线(C＊)也为测地线,则Σ为柱面.

由定理1可直接得到如下推论.

推论设Σ为α的副法线面.若除α外还存在直母线的一条正交轨线为测地线,则Σ为柱面.

受上述结果的启发,我们考虑对于曲率线和渐近线是否也有类似的结论.对此我们证明了下面的两个定理.

定理2 设Σ为α的副法线面,若存在直母线的一条正交轨线为Σ的曲率线,则Σ为柱面.

定理3 设α(u)为一般螺线,即α(u)的挠率和曲率之比=c(常数),又设Σ:r(u,v)=α(u)+vB(u)为α的副法线面.若存在直母线的一条正交轨线v=b为Σ的渐近线,则或者Σ为柱面,或者α(u)的参数方程为(当τ取初值τ(0)=1时)

2 预备知识

设α是一条以弧长为参数的正则曲线,曲率和挠率分别为κ和τ,曲率κ恒不为零.又设T,N,B分别为α的切向量,主法向量和副法向量.考虑以α为准线,B为直母线方向向量的直纹面Σ,该直纹面称为α的副法线曲面.其参数表示为

根据曲线的Frenet-Serret公式[1],

3 主要定理的证明

定理1的证明 设β(s)=r(u(s),v(s))=α(u(s))+v(s)B(u(s))为Σ上的测地线,则由测地线的微分方程(引理2),有

又设Σ上另一条测地线(C＊)方程为

因为β(s)不为直母线,则u不为常数,即u′≠0.由(3.3)的第二个方程,有τ=0,此时(3.3)的第一个方程也成立.所以α为平面曲线,则Σ为柱面.

定理2的证明 设ā(s)=r(u(s),v(s))=α(u)+v(s)B(u(s))为Σ上的曲率线,由副法线面的基本公式以及引理3得曲率线的方程为

定理3的证明 因为直母线正交轨线β(u)=α(u)+bB(u)为副法线面Σ的渐近线,满足渐近线方程(2.4),根据副法线面基本公式,有

[1] Do Carmo M.Differential geometry of curves and surfaces[M].New Jersey：Prentice-Hall,Inc.,1976：15-185.

[2] 彭家贵,陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社,2002：78-117.

[3] 梅向明,黄敬之.微分几何[M].北京：高等教育出版社,1988：98.

[4] 沈纯理,黄宣国.微分几何[M].北京：经济科学出版社,1997：37-38.

Some Characterizations of Cylinders Described by Some Important Curves

WA N G Zhi-bin
(College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241003,China)

Based on the study of the binormal surface of acurve,this paper obtains some characterizations of cylinders described by some important curves.

cylinder;binormal surface;geodesic;lines of curvature

O186.11

A

1672-1454(2011)03-0153-04

2008-06-23