不动点定理的相关应用

刘 波, 李承耕

(韩山师范学院数学与信息技术系, 广东 潮州 521041)

不动点定理的相关应用

刘 波, 李承耕

(韩山师范学院数学与信息技术系, 广东 潮州 521041)

主要介绍了Banach 不动点理论及其在数学分析、积分方程、微分方程中的应用，应用不动点理论证明了闭域套定理、积分方程和微分方程解的存在唯一性。

不动点；不动点定理；应用

1 Banach不动点定理

定义1[1]设X是给定的集合，T:X→X为X到自身中的映射，如果∃x0∈X使得Tx0=x0，则称x0为映射T的一个不动点。

定义2[2]设X=(X,d)是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a，0

d(Tx,Ty)≤αd(x,y)

(1)

则称T是压缩映射。

定理1[3]设X=(X,d)是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点。

2 闭域套定理的证明

证明设{Dn}是R2中的闭域列，p1,p2是闭域Dn中的2个点，坐标为p1(x1,y1),p2(x2,y2)，定义距离d(p1,p2)=|x1-x2|+|y1-y2|，则闭域Dn显然是完备的度量空间。

对∀p(x,y)∈Dk，设ak=min{x|(x,y)∈Dk}，bk=max{x|(x,y)∈Dk}，ck=min{y|(x,y)∈Dk}，dk=max{y|(x,y)∈Dk}，作映射：

对∀p(x,y)∈Dk，有Tp(Dk)⊂Dk，所以Tp是Dk到自身的一个映射。

现证T是压缩映射，任取p1,p2∈Dk，满足：

“你小子呀，总算来了。”小表姐杨晓梅把两盘菜放在餐桌正中间，“你快坐下吧。你们娘俩多亲近，我这还有两个菜，你们先吃着，我就来。”

由于Dk+1⊂Dk，所以:

令:

得到:

d(Tp1,Tp2)≤αd(p1,p2)

3 积分方程解的存在唯一性

定理3设f(x)为a≤x≤b的连续函数，k(x,t)为正方形a≤x≤b，a≤t≤b上的连续函数。若存在常数M使得:

由于α=|λ|M(b-a)<1，所以T是C[a,b]到C[a,b]的一个压缩映射，由Banach不动点定理，存在一个不动点满足方程。

4 微分方程解的存在唯一性

[1]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(上册)[M].北京:北京大学出版社,1998.

[2]程其襄.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] 薛昌兴. 实变函数与泛函分析[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.006

O177.2

A

1673-1409(2011)12-0014-02