简论基于研究性教学的《数值分析》教学设计

李庆宏，黄日朋

（滁州学院 数学科学学院，安徽 滁州 239000）

简论基于研究性教学的《数值分析》教学设计

李庆宏，黄日朋

（滁州学院 数学科学学院，安徽 滁州 239000）

《数值分析》是数学类专业一门重要的专业基础课程，旨在培养学生利用科学与工程计算这一手段来解决实际问题的能力。在《数值分析》的教学设计中，应体现研究性教学的思想与要求，以提高学生的学习兴趣，激发他们的创造力。本文从数值方法的引入与总结、数值实验这两个环节讨论了如何对《数值分析》的研究性教学进行设计。

数值分析；研究性教学；引入与总结；数值实验

《数值分析》是数学类专业一门重要的基础课程，其主要内容是研究求解连续性数学问题及模型的数值计算方法，并能通过计算机编程得到相应的数值结果。该课程旨在培养学生利用计算机等现代计算手段来解决现实生活中出现的各种复杂定量问题（数学问题）的能力。数值分析是现代科学与工程计算的重要基础，而现代科学与工程计算被认为是与理论研究、实验研究并驾齐驱的三种科学研究手段之一［1］。因此，教好这门课程，提高学生的学习兴趣，从而培养他们的创新精神和实践能力，激发他们的创造力，无疑有着非常重要而深远的意义。

研究性教学作为一种以“问题”为中心的教学模式和教学方法，要求在教师指导下，学生从现实生活中选取一些与所学知识、思想与方法相关的问题进行分析、归纳、假设、建模、求解。在这过程中，学生可以积极主动地探索、思考、实践。研究性教学在培养学生的学习能力、解决问题的能力、团队合作以及创新能力等方面发挥着重要作用。目前，我国高等教育界的一个广泛共识是，传统的以教师为核心以知识灌输为重点的大学培养模式和教学方法已经严重影响到人才的培养质量，必须加以改革，而提倡以学生为核心以能力培养为重点的研究性教学应该是我国高等教育教学改革的主要选项之一。

教学设计是教师在教授某门课程前所做的教学准备工作的总称，涉及教学的多个环节，如对该课程以及相关课程的总体认识，对授课内容、目的与要求的准确理解和把握，对重点和难点的处理，采用的教学模式和方法，教学进度与过程的设计与安排，实验、作业、考核等环节的设计与实施等等。做好教学设计是搞好教学工作的前提和基础。根据研究性教学的基本内涵和要求，教师在进行教学设计时，要采取多种途径和方式，有意识地去启发、引导学生应用研究型思维和探究性学习去理解、去思考、去发现、去体验、去总结；要以“问题”为中心，以培养学生的“问题意识”为主要目标［2］。

本文我们将从数值方法的引入与总结和数值实验这两个教学环节来讨论如何对《数值分析》的研究性教学进行设计。这里想指出的是，《数值分析》教学的每一环节，如课堂教学、习题、考核、教学互动等等，都很重要，都需要进行精心设计，但以上所考虑的两个环节似乎更能体现研究性教学的宗旨和目的。

1 数值方法的引入与总结

问题的引入是指教师采用何种方式和途径将所要讲授的问题介绍给学生，目的是让学生对所学知识的内容、背景和发展历史等有些初步的认识与了解，激发学生的学习兴趣。而问题的总结是指教师在讲完某个问题或专题后所做的总结，包括对理论、思想、方法的总结以及实验结果和习题讲解等等。就《数值分析》而言，对于某个的数值计算方法，教师应该讲清楚该算法的起源与发展历史，它计算了什么问题，这些问题的来源与背景等等，而在结束这个算法的讲授时，应告诉学生该算法一些最新的研究进展，该算法在哪些新的领域得到了成功的应用，如果想深入研究该算法可以进一步阅读哪些更深的文献资料等等。这些教学设计不仅要求教师对该数值方法本身的构造、定性性质、应用背景与趋势有非常准确而透彻的理解与掌握，而且还要求教师对相关学科领域研究的历史脉络、现状、一些重要的进展也要有较为深入的了解。下面我们以插值方法和数值积分这两个教学单元为例，讨论如何进行研究性的教学设计。

目前，许多教科书对于插值方法的论述是这样进行的。首先介绍插值问题，即对于给定的一些离散的数据点，找到这些变量间的函数关系，使得这些已知的数据点满足这样的函数。然后在给出相关概念后指出，解决插值问题的方法就称为插值方法，并给出一些理论结果。接着，便开始一一介绍具体的插值方法及其相关的误差估计和计算结果。应该说，这样的处理把插值方法的基本内容讲清楚了。但这样处理是基于知识灌输的教学理念的，并没有体现研究性教学的目的和要求。事实上，在学习的过程中，我们不禁会问：插值方法是怎么形成的？它的基本思想是什么？它能解决哪些现实生活中的问题？如果我们碰到一些类似的问题，应该如何应用这些插值方法？等等。因此，在讲授插值方法时，问题的引入和总结显得非常重要。我们可以先介绍一些具体的插值问题的例子，如机械加工的计算机控制问题、船只进入港口的线路问题、飞机的设计与制造问题［3，4］等等，讲解时应尽量细致一些，不要太泛，然后再引入插值问题，这样做会让学生觉得，插值问题不仅仅是一个抽象的求解函数的数学问题，它在现实世界中有着活生生的例子，从而对相关的求解方法就会产生学习和探究的兴趣。此外，补充插值问题与插值方法的一些发展过程、历史典故也是有益的。而在对插值方法进行总结时，我们可以介绍插值方法的一些最新研究进展、应用实例等等，如插值方法在曲线曲面的构造、股票证券市场的分析与预测、图形图像处理、生态环境的保护、GPS卫星轨道的模拟等方面的应用，诸如此类。教师也可以根据学生的实际情况，拟定一些有趣的问题，比如，用所学的某种插值方法对某些现有的数据进行插值，然后再分析预测某些变量的变化趋势，这些数据可以来自于各行各业或各种实际问题，如经济、金融、股票和证券市场、生态、气象、教育、医药、管理等等。尽管学生可能不会得出什么有价值有创见的研究结果，或者得出的结论可能会似是而非，自相矛盾，但这并不重要，重要的在于，在此过程中，不仅让学生巩固了所学知识，学习了许多专业以外的知识与方法，而且让学生懂得并切身体验了插值方法是如何用来解决一些实际问题的，自然地，他们的分析解决问题以及动手实践的能力会得到一定程度地训练和提高［5］。

再以数值积分为例。现有的许多教材先是将机械求积分的思想，然后再按部就班地将各种数值积分公式及其一些定性性质的分析与证明，其间也穿插一些算例，最后是些习题和上机实验题。应该说这种教学的设计是传统的中规中矩的，正如上面提到的，是知识灌输型的，基本上没有什么特色，更谈不上体现研究性教学的理念。在这个单元教学中，在问题的导入上，教师应向学生阐明两个问题：为什么要用数值的方法来求解定积分？为什么能用一些函数值的线性组合来近似代替原来的定积分？第一个问题是让学生明白，对于某些定积分，我们是无法得到精确解的，这里可举几个例子，当然，如果能给出这些例子的出处和实际背景，那么效果就更好了；第二个问题实际上是回答了数值积分公式的构造思想，依照此思想以及一些准则如精度和稳定性的要求，学生就可以自己去构造属于自己的数值积分公式，可以用自己的名字命名，显然，学生的兴趣就会被调动起来了。在本单元的总结时，我们既要向学生介绍有关现代数值积分方法的一些研究进展，如高振荡的数值积分方法，以及数值积分方法在某些科学、工程与社会生活领域中的应用，如微分方程计算、信号处理、统计计算等等，也可设计一些问题供学生进一步研究学习，比如，现有的积分公式的精度是基于多项式拟合的，即公式要对函数集｛1，x，x2，…，xn｝精确成立并使得n要尽可能地大，而我们可以要求学生运用所学的构造方法来构造基于函数集｛1，x，x2，…，cos（wx），sin（wx），…｝的数值积分公式，事实上，此类积分在计算某些高振荡积分时效果很好；再比如，现有本科层次的数值分析教材所讲授的数值积分方法基本上是用来解一维有限区间上的正常积分的，因此，我们可以要求学生利用机械求积的思想去考虑如何设计求解反常积分以及多元定积分的数值积分公式等等。

2 实验设计

实验教学是《数值分析》教学中的一个非常重要的环节。设计一个科学合理的实验教学方案，让学生在上机编程计算的实践活动中，去发现、体验、思考各种算法的计算效能、优缺点以及改进的方案等等，对提高《数值分析》的教学效果，培养学生的实践能力有着举足轻重的地位和作用。一般而言，按其性质和目的，我们可将实验分为验证性、综合性、设计性和创新性实验等等。综合性实验是指实验内容涉及本课程的综合知识或与本课程相关课程知识的实验，它具有实验内容的复合性、实验方法的多样性以及人才培养的综合性等特点；而设计性实验是指给定实验目的、要求和实验条件，学生自己设计实验方案，并加以实现的实验，它具有学生学习的主动性、实验内容的探索性、实验方法的多样性以及实验结果的创新性等特点。

3 结论

以上我们从问题的引入和总结、实验设计这两个方面简要讨论了如何对《数值分析》进行研究性教学设计。科学合理充分的教学设计是搞好教学工作的基础和前提，而研究性教学的模式和方法因其特有的在人才培养方面的功能，应该在教学实践中被采用。然而，实施研究性教学对教师的综合素质要求比传统的知识灌输型教学要高了许多，教师不仅要有实施研究性教学的理念、积极性和责任感，同时也要不断提升自己的业务素质，把握学科研究的前沿和最新动态，深入开展教学研究和课程建设。做到这一点，就要求我们的教师潜心于自己的教学与研究工作，要多读、多看、多思考、多收集、多积累。

［1］余德浩.科学与工程计算在中国［J］.数学进展，2001，（5）.

［2］黄亚平，陈小鸿.研究性教学：理论与实践［J］.浙江工业大学学报（社会科学版），2006，15（2）.

［3］李庆扬，王能超，易大义.数值分析（第4版）［M］.北京：清华大学出版社，2001.

［4］王能超.计算方法简明教程［M］.北京：高等教育出版社，2004，（1）.

［5］刘春凤，常锦才，杨爱民.数值分析系列课程的立体化教学平台设计与实践［J］.河北理工大学学报，2009，9（6）.

On Research－based Teaching Design of Numerical Analysis

Li Qinghong，Huang Ripeng

（School of Mathematical Sciences，Chuzhou University，Chuzhou 239000，China）

Numerical analysis is one of important fundamental courses for mathematical majors，whose main goal is to improve the students＇ability of solving practical problems by means of scientific and engineering computing.The idea of research－based teaching should be adopted in the teaching design so as to improve the students＇interest on this course.In this paper，it is discussed how to design the research－based teaching in the sections of introduction and summary，numerical experiments of each numerical method.

numerical analysis；research－based teaching；introduction and summary；numerical experi-ments

G420

A

1673-1794（2011）05-0086-03

李庆宏（1974－），男，博士，教授，从事计算数学的教学与研究。

安徽省应用数学省级教学团队建设项目（2009－2013），滁州学院教研项目（2008jy043，2010jyy012）

2011-06-06