马克思再生产模型中的最高、最低积累率

陶为群

（中国人民银行南京分行，江苏 南京 210004）

马克思再生产模型中的最高、最低积累率

陶为群

（中国人民银行南京分行，江苏 南京 210004）

马克思的两部类再生产模型中的各部类和全社会最高与最低积累率问题，是尚未获得完满解决的难点问题。本文运用单调函数的性质和求函数最大、最小值方法，通过解析，给出了静态意义下的各部类和全社会最高及最低积累率与两个部类结构参数的函数关系式。并且引用和借鉴《资本论》中的举例，对给出的函数关系式做了算例验证。

马克思再生产模型；积累率；最大、最小值；结构参数；单调函数

1 引言

马克思的扩大再生产理论与模型对于研究国民经济运行的规律具有基础性指导意义。积累是扩大再生产的源泉，因而其中的两个部类积累率之间关系的问题，以及与此相连的全社会积累率高低界限问题，都是非常重要的内容，也是经过多年研究、至今尚未获得完满解决的难点问题。解决这个问题对于将模型加以控制和优化都是必须的。难点主要在于，两个部类的产品实现和积累相互依赖和约束，因此两个部类的积累率高低界限问题无法分割，必须一同解决。张忠任（2006）研究马克思再生产体系的两个部类积累率的调节机制时，明确给出了消费资料部类积累率的表达式，以及生产资料部类的最大积累率表达式，但他认为整个调节过程是从首先确定生产资料部类的积累率开始，消费资料部类积累率是生产资料部类积累率的函数[1]。陶为群、陶川(2010、2011)研究马克思的两部类再生产模型时，引入两个部类新创造价值之比例关系作为结构参数，与各部类的资本有机构成和剩余价值率一起，共同完整地反映了马克思两部类经济增长模型的结构[2]，并明确给出了两个部类积累率之间的相互约束关系式[3]。由于马克思的扩大再生产模型是一个特别的两部类经济增长模型，因而各部类的积累率必然存在高低界限；于是由两个部类积累率加权形成的全社会的积累率也必然存在高低界限；各部类积累率、全社会积累率的高低界限应当是这个模型的结构参数的函数。

2 对马克思两部类经济增长模型的结构的辨识

马克思经济增长理论和模型建立在劳动价值论的基石之上，含有价值构成原理和实物构成原理。价值构成原理在社会产品价值上的体现是，产品的全部价值由生产它所消耗的生产资料价值、劳动力价值和剩余价值三部分构成。实物构成原理在社会生产上的体现是，划分成分别生产生产资料、消费资料的两大部类。经济增长以社会总产品的实现为前提，这个实现过程必须通过两个部类之间的产品等价交换完成。资本积累是剩余价值转化成资本，是经济增长的源泉。马克思两部类经济增长模型设定了经济增长过程中各部类的资本有机构成和剩余价值率不变，那么在每个部类内部，不变资本、可变资本、剩余价值、新创造价值之间都保持着固定不变关系，因而两个部类之间任一个对应部分之间的比例关系，都足以表现整个部类之间的比例关系。陶为群、陶川（2010）为了便于和现代经济增长模型比较，用两个部类新创造价值之间的比例关系从总体上反映两个部类之间的比例关系。分别以C，V，M，Y表示不变资本、可变资本、剩余价值、新创造价值，则Y=V+M；以下标Ⅰ、Ⅱ表示生产资料部类和消费资料部类，上标（t）表示第t年。用h=C/V表示资本有机构成，e、μ分别表示剩余价值率、剩余价值积累率，这些结构参数再加上t年两个部类新创造价值之间的比例关系，就共同完整地反映了马克思两部类经济增长模型的特殊结构[2]。

3 部类间产品交换确立了两个部类积累率之间的函数关系

由于马克思两部类经济增长模型中设不变资本的周转周期为1年，因而固定资产折旧已经计入生产资料消耗之中，当年新创造价值对应于统计上的国内生产净值。对确定了含义的字母前面加符号△表示增量。按照马克思扩大再生产理论，积累来自剩余价值，分解为△C和△V两个部分。包括完成积累的社会总产品实现，必须经过两个部类之间的产品交换，并且在产品交换时生产资料生产部类对消费资料的全部需求，等于消费资料生产部类对生产资料的全部需求。这一交换等式可以表示成：

一个也就被随之确定，不应看作谁被谁决定。或者说，可以任取二者之一作为自变量，让另一个成为其函数。 现在不妨取作为自变量，根据每个部类内部不变资本、可变资本、剩余价值、新创造价值之间的关系式和φ（t）的定义，将用参数确定的部类结构关系式带入（2）式，可得到两个部类的积累率之间的函数关系：

4 运用求函数最大、最小值方法确定每个部类最高、最低积累率

对于某个取定的t年，两个部类新创造价值之比例关系φ（t）是个已经被确定的数值；而φ（t）可以取不同值。 因为同样，由（4）、（5）两式可解得作为对应的必要条件时，φ（t）的取值区间是：

5 运用求函数最大最小值方法确定全社会最高、最低积累率

5.1 在第Ⅰ部类有机构成高情形下确定全社会最高积累率

从（14）式看出：当第Ⅰ部类有机构成高即 hⅠ＞hⅡ时，全社会积累率 μ（t）是的单调增函数。 这是由于，根据（1）式△C（t）是已经相对被确定的，当 hⅠ＞hⅡ时消费品部类的有机构成低，增大意味着匹配增大该部类的新增可变资本△，因而增大全社会新增可变资本△V（t），就会提高全社会积累率。所以取值越大，全社会积累率 μ（t）越高。 将（14）式中的换成用（9）式表示的 Max（）带入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表达式：Max（μ（t））

5.2 在第Ⅱ部类有机构成高情形下确定全社会最高积累率

同样从（14）式看出：当第Ⅱ部类有机构成高即 hⅠ＜hⅡ时， μ（t）是的单调减函数，越小则 μ（t）越大。 这是由于，（1）式中△C（t）是已经相对被确定的，相对减少意味着增大，hⅠ＜hⅡ时投资品部类的有机构成低，意味着必须匹配增大该部类的新增可变资本△因而增大全社会新增可变资本△V（t），从而会提高全社会积累率。所以取值越小，全社会积累率 μ（t）越高。 将（14）式中的换成用（11）式表示的 Min带入，得到 μ（t）的最大值 Max（μ（t））表达式。Max（μ（t））

这时对于某个取定的t年，全社会积累率μ（t）是个确定的数值，与

5.3 在两个部类有机构成相同情形下确定全社会最高积累率

根据（14）式，当两个部类有机构成相同即h=h时，取值大小都无关， μ（t）也就是积累率最大值Max（μ（t））。这是因为两个部类有机构成相同，每个部类的新增可变资本都是按照新增不变资本的1/hⅡ（1/hⅠ）比例匹配的；（1）式中全社会新增不变资本△C（t）是已经被确定的，所以全社会新增可变资本△V（t）也是按照△C（t）的 1/hⅡ匹配的，是个确定的数值；所以全社会积累率 μ（t）成为确定的数值。但是对于不同的年份 t，Max（μ（t））=μ（t）同样可以看作是φ（t）的一元函数。

从Max（μ（t））的表达式看到，不管第Ⅰ、Ⅱ部类有机构成高低相比较怎样不同，全社会最高、最低积累率都与两个部类的资本利润率有关。综合以上关于第Ⅰ、Ⅱ部类有机构成高低比较的3种不同情形的解析，由于全社会积累率 μ（t）是的单调函数，同时的最大、最小值都可以看作是φ（t）的函数，所以，全社会积累率最大值 Max（μ（t））就可以看作是φ（t）的复合一元函数。 并且，Max（μ（t））是φ（t）的单调减函数。

5.4 区分不同情形确定全社会最低积累率

与以上关于第Ⅰ、Ⅱ部类有机构成高低比较的3种不同情形分析的方法相同，能够分别获得全社会积累率最小值 Min（μ（t））的表达式。当第Ⅰ部类有机构成高即 hⅠ＞hⅡ时，全社会积累率 μ（t）是的单调增函数，这时 Min（μ（t））的表达式与 hⅠ＜hⅡ情形下的 Max（μ（t））表达式完全相同；当第Ⅱ部类有机构成高即 hⅠ＜hⅡ时，μ（t）是的单调减函数，这时 Min（μ（t））的表达式与 hⅠ＞hⅡ情形下的 Max（μ（t））表达式完全相同；当两个部类有机构成相同即hⅠ=hⅡ时，对于某个取定的t年，全社会积累率μ（t）是个确定的数值，与μ取值大小无关，Min（μ（t））的表达式与 μ（t）的表达式（17）完全相同。 综合关于第Ⅰ、Ⅱ部类有机构成高低比较的 3种不同情形的解析，全社会积累率最小值 Min（μ（t））都可以看作是φ（t）的减函数。

表1 引用和借鉴《资本论》第二卷第二十一章中算例验证

6 引用和借鉴《资本论》的算例验证

下面引用和借鉴马克思《资本论》第二卷第二十一章中的举例，对以上论述与推导的部分关系式进行算例验证，结果列于表1。马克思在《资本论》第二卷第二十一章中举了个的第二例，通过计算来说明两个部类的扩大再生产过程。在这个第二例当中，马克思设定基年的两个部类结构参数是：hⅠ=5，hⅡ=5.0175，eⅠ=eⅡ=1。该例作了连续4年的扩大再生产计算。现在直接引用对前3年的计算结果列在表1中，作为全社会一般积累率的情形，与本文给出的全社会积累率最小值的情形对比。本文使用该例第1年的本原数据，仅仅换成按照本文给出的全社会积累率最小值算式条件，取值；再分别按照列出的算式，相应获得全社会积累率最小值和第Ⅰ部类积累率值；照此以各部类自身的纵向传递关系计算3年，计算结果列在表1中，验证了算出的各年全社会积累率都低于相应的马克思例示积累率。算例也验证了本文指出的积累率最小值可以看作是φ（t）的严格减函数的结论。

综合以上研究有几点结论：第一，由于马克思的扩大再生产模型是一个具有特别结构的两部类经济增长模型，两个部类的积累率是互相依赖、互为约束的，因而各部类积累率都有最大、最小值。第二，对于不同的年份t，两个部类的积累率，的最大、最小值都可以看作是两个部类新创造价值之比例φ（t）的一元单调函数，意味着为了实现两个部类的扩大再生产或者简单再生产，，取值都受到两个部类新创造价值之比例关系的约束。第三，为了实现两个部类的扩大再生产或者简单再生产，任何年份φ（t）的取值都必须有上下界限。第四，由于全社会积累率是两个部类积累率的加权平均数，因而也有最大、最小值，并且最大、最小值也都可以看作是φ（t）的一元单调函数。引入两个部类新创造价值之比例关系φ（t）作为结构参数至关重要。实际上通过将两个部类产出相对化，简化为相当于单一部类的结构。总的来说，各部类积累率、全社会积累率的最大、最小值都是由两部类经济增长模型之结构参数所决定。当在动态意义下，两个部类新创造价值之比例φ（t）会随着此前年份的取值和两个部类的积累而变化，所以这种情形下的两个部类和全社会最高、最低积累率需要另做研究。

[1]张忠任.数理政治经济学[M].北京:经济科学出版社，2006.

[2]陶为群、陶川.马克思经济增长模型中的储蓄与劳动就业关系[J].当代经济研究，2010，（7）.

[3]陶为群、陶川.马克思经济增长模型中的特征值及其理论蕴含[J].经济评论，2011，（3）.

[4]马克思.资本论（第二卷）[M].北京:人民出版社，2004.

[5]陶为群.总供给总需求平衡与两部类再生产的相合性[J].经济师，2011，(1).

THE HIGHEST AND LOWEST RATE OF ACCUMULATION IN MARX′S REPRODUCTION MODEL

TAO Wei-qun
（Nanjing Branch,The People′s Bank of China,Nanjing Jiangsu 210004）

It is a difficult question which has not solved satisfactorily that the highest and lowest rate of accumulation in Marx′s reproduction model.By means of analyzing,and using the property of monotone function and method of seeking the maximum and minimum of a function, this paper gives function expressions about the relation of the highest and lowest rate of accumulation of each social production department and whole society with structural parameters of two departments,by meaning of static state.Finally,with reference to the Das Kapital,the paper exemplifies the above-mentioned.

Marx′s reproduction model;the rate of accumulation;maximum and minimum;structural parameters;monotone function

F0-0

A

1672－2868（2011）04－0025－07

2011-04-18

陶为群（1955-），男，江苏南京人。中国人民银行南京分行高级经济师,安徽大学、安徽财经大学兼职教授，研究方向：社会再生产理论、数量经济。

责任编辑：澍 斌