如何寻求辅助问题以实现“化归”
2011-10-26姜健
姜 健
(江苏盐城技师学院,江苏 盐城 224002)
如何寻求辅助问题以实现“化归”
姜 健
(江苏盐城技师学院,江苏 盐城 224002)
在用“化归方法”解题的过程中,构造辅助问题是至关重要的,因为没有辅助问题,就不能将所给问题化为已经解决的问题,所以这是实现“化归”并最终解决问题的关键。
化归方法;辅助问题;揭露差异;逆向转化;突破创新
1 .化而不归
众所周知,“化归方法”是一种间接方法,当所给问题直接下手较为困难时,即可构造辅助问题将其化为已经解决或较易解决的问题去处理。这就是所谓的“化归”策略。在“化归”的过程中,构造辅助问题乃是实施“化归”策略的关键,如果构造不了相应的辅助问题,那就不可能实现“化归”。由于辅助问题并非明显存在,且一般不易发现,故对大多数人来说,实施“化归方法”并非易事,往往会遭遇“化而不归”的尴尬。
例1 对于任意 x,y,z ∈ R ,试证:
直接从条件出发证明结论,几乎是不可能的,为此,必须运用“化归”策略,将原有问题加以转化。这就需要构造出相应的辅助问题,并借助辅助问题实现“化归”。但是,我们却不知其相应的辅助问题是什么,更不知从何下手去构造该辅助问题,所以只能是想“化”而“化不了”,即“化而不归”。
由此可知,“化归方法”虽好,但如不能解决如何有效地寻求辅助问题的话,那么这种方法就只能是徒有虚名而没有什么实际作用。正因为如此,所以寻求构造辅助问题的有效途径,从根本上解决“化而不归”的问题就成了我们的迫切任务。
2 .突破创新
数学问题中存在着各种差异,这种差异就是条件与条件、条件与结论之间的不同点。而数学解题的过程,就是消除条件与条件、条件与结论之间的各种差异,并将条件转化为结论的过程。由于差异就是矛盾,所以这个过程就是一种矛盾转化的过程。而矛盾转化是有其客观规律的,即矛盾双方在一定条件下各自向其对立面转化,直到与对立面化同。《数学解题通论》中,正是以此转化规律为指导,提出了“揭露差异——逆向转化”的解题策略,从而有效地解决了寻求辅助问题的难题。
所谓“揭露差异”,就是将所给问题中条件与条件、条件与结论间的差异揭露出来。如“已知”与“未知”的差异、“一般”与“特殊”的差异、“整体”与“局部”的差异、“有限”与“无限”的差异、“运动”与“静止”的差异、“数”与“形”的差异、“多”与“少”的差异、“曲”与“直”的差异、“高”与“低”的差异等。
所谓“逆向转化”,就是让上述差异的双方各自向其对立面转化,如化“已知”为“未知”,化“未知”为“已知”;或化“一般”为“特殊”,化“特殊”为“一般”;以及化“动”为“静”,化“静”为“动”;或化“数”为“形”,化“形”为“数”等等。借助这些“逆向转化”,即可顺其自然地找到相应的辅助问题。下面我们运用这个方法来寻求辅助问题并借其解题。请看对例1的证明:
首先“揭露差异”:观察原问题,发现结论为不等式,其对立面为等式(或方程),所以本题存在着“等”与“不等”的差异。因此,证明本题可以采取如下的矛盾转化:“化不等为相等”及“化相等为不等”。
首先“化不等为相等”,即设法将不等式(1)转化为等式。由于x,y,z为未知数,因此这种等式即为方程。由于不等式(1)形似一元二次方程根的判别式,故可联想到构造一元二次方程。
由此便实现了“化不等为相等”。
这就是所需构造的辅助问题,下面我们将借其完成证明。为此,尚需“逆向转化”,即“化相等为不等”。
∵方程(2)的系数和为
∴方程(2)有实根1.
又∵ x,y,z∈ R,∴方程(2)的系数为实数,
∴方程(2)的判别式为非负,即
于是又“化相等为不等”。
若x(x +y +z)=0,则不等式(1)显然成立。
从而原不等式得证。
这样,借助于“等”与“不等”的转换,我们就在不知不觉中找到了辅助问题——方程(2),它是条件与结论间的内在联系,通过它的桥梁作用即可顺利导致证明。
从以上的证明过程中不难看出,我们是在矛盾分析与矛盾转化的基础上完成证明的,是按照矛盾转化的规律办事的。证明过程循序渐进、和谐自然,没有人为雕琢的痕迹。以例1为例,我们没有执意将结论式的左端配成平方,而是在矛盾分析后,先化不等式为等式,并由此得到启发,构造出相应的辅助方程(2),然后再“逆向转化”,化等式为不等式,即将方程(2)转化为不等式,为此只需利用一元二次方程有实根的条件,即可证明不等式(1)。
尽管在构造辅助方程(2)时少不了用到个人的一些直觉与经验,但因是根据客观规律办事,所以能够有所遵循,并不需要盲目探索。事实上,在“化不等为相等”的启发下,自然会想到构造一个等式,这里即是方程;而根据不等式的特点,也只能想到构造相应的一元二次方程。不过这个方程究竟如何构造,则是需要有一点聪明才智的,其中的关键就是方程(2)根的判别式应与结论式一致,且各项系数的和必须为零,这样才能使其有实根1,才能确保判别式非负,从而导致结论的证明。所以此法虽然不依赖于个人的聪明才智,但也不完全排除个人才智的作用。
3 .原理浅析
在解决数学问题的过程中,寻求条件与结论间的内在联系是至关重要的,因为它是实现条件向结论转化的桥梁,也是构造辅助问题的基础。而“揭露差异——逆向转化”则有助于揭示这种联系。
在数学问题中,差异乃是表象,而内在联系则是本质。由于本质常被表象所掩盖,因此如果用形而上学的观点去看问题,就很难发现这种本质联系,这就是我们难以找到辅助问题的原因。
但如采取“揭露差异——逆向转化”的做法,那就不是用形而上学而是用唯物辩证的观点去处看待数学问题了。由于“揭露差异——逆向转化”破坏了原有的数学问题的关系结构,使得差异与联系发生转化,从而消除了表象对本质的掩盖,将内在联系充分地暴露出来。这就是为什么能够较易找到辅助问题并较易解决问题的原因。
不难看出,遵循这种做法,就能使我们有章可循、有法可依,从而克服盲目性,提高自觉性,提高解题效率。这是一种全新的数学解题模式。它不仅适用于才智较高的学生,而且也适用于才智一般的学生,因此不仅适用于精英教育,而且更适用于大众教育。在提倡素质教育与大众教育的今天,我们就应在数学教学中大力推广这种方法,以便全面提高学生的数学素养与解决问题能力。
[1] 顾越岭. 数学解题通论[M]. 广西教育出版社,2000.
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1008-7427(2011)06-0126-01
2011-03-23
作者系江苏盐城技师学院高级讲师。