一个有趣的简谐振动

张洪宝

德州职业技术学院 山东德州 253034

一个有趣的简谐振动

张洪宝

德州职业技术学院 山东德州 253034

简谐振动是物体在某一平衡位置附近所作的往复运动。若把地球看作一个均匀的球体，并沿地轴钻一个洞，把物体在洞口由静止状态放入，则物体将做以地心为平衡位置的简谐振动。

简谐振动；地轴；平衡位置；周期

Abstract: Harmonic vibration of an object is a reciprocating motion near the equilibrium position. If the Earth is a uniform sphere, and drill a hole along the axis, and place the object into the hole from the rest, the object will to do harmonic vibration, the center of the earth as equilibrium position.

Key words: harmonic vibration; the earth’ axis; equilibrium position; period

有关简谐振动的应用很多，有关简谐振动的研究也比较普遍，本文对简谐振动的研究仅限于理论方面，更准确地说，是对一个假设的现象进行研究而得出的结论：一个很有趣的“简谐振动”。在讲述自由落体运动时联想到，若将地球钻透，把物体在洞口放入，物体将做什么样的运动呢？笔者通过对物体进行受力分析、理论推导而得出了结论。

1 放入洞中物体受力情况

把地球当做一个均匀的球体，沿地轴由北极至南极钻一个洞。以地心为原点，以地轴为X轴，指向北极的方向为X轴正方向，建立空间直角坐标系。设物体质量为m，在某时刻物体处在X轴上距原点为X处。取地球某点(x，y，z)处体积元为dxdydz，则物体m所受体积元的引力为：

在x2+ y2+ z2≤ R2区域内积分,求出F，F，

(1)式即为物体所受外力与位置X之间的关系。

2 物体的动力学方程

(2)式即为简谐振动的动力学方程。

3 物体所做简谐振动分析

由物体的动力学方程可得出结论：

在不考虑空气阻力时，由静止放入洞中的物体将做简谐振动。

3.1 该简谐振动的平衡位置

由(1)式,当物体处于平衡位置时,Fx=− kX =0可得：X=0所以物体做简谐振动时的平衡位置在地心。

3.2 该简谐振动的运动方程

3.3 该简谐振动的振幅

由运动方程可知,该简谐振动的振幅等于地球的半径Re。也就是说,当把物体在洞口由静止状态放入后,物体离地心最远只能到达洞口,而不会从洞中掉出。

3.4 该简谐振动的周期

(4)式中g为地球表面的重力加速度g=9.8m/s2

3.5 该简谐振动的速度

由(7)式可知，由洞口放入的物体到达地心时的速度恰好与人造地球卫星在地球表面附近绕地球做圆周运动的速度(即第一宇宙速度)相同。

根据以上分析可知，此简谐振动如同人造地球卫星在地球表面附近绕地球所作的圆周运动在地轴上的投影(假设卫星是沿径线绕地球做圆周运动)。

[1] 四川大学数学学院高等数学教研室.高等数学(第2册)[M].北京：高等教育出版社，2009

[2] 梁昆淼.力学(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010

[3] 张汉壮，王文全.力学[M].北京：高等教育出版社，2009

[4] 漆安慎，杜婵英.力学(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2005

An interesting harmonic vibration

Zhang Hongbao
Dezhou vocational and technical college, Dezhou, 253034, China

2010-12-23 稿件编号：1012123

张洪宝，本科，副教授。