椭圆封头偏交椭圆管的展开

王金敏， 王 皑,

（1. 天津职业技术师范大学，天津 300222；2. 北京电子科技职业学院，北京 100176）

椭圆封头偏交椭圆管的展开

王金敏1， 王 皑1,2

（1. 天津职业技术师范大学，天津 300222；2. 北京电子科技职业学院，北京 100176）

运用数学分析及投影理论的方法，建立了椭圆封头偏交椭圆管的数学模型，推导了椭圆封头偏交椭圆管的展开方程，据此设计了椭圆接管展开图的通用程序。最后，给出了应用实例，证明该方法简单、直接，易于理解与操作，便于工程实际应用。

计算机应用；展开；投影理论；封头；椭圆管；偏交

椭圆封头由于受力较好，加工较易，因此被广泛应用于化工、轻工、石油及制药等行业的中低压容器。在椭圆封头设备制造中经常遇到椭圆封头接管问题[1-2]。正确地对椭圆封头接管进行展开放样是制作的第一道工序，如何迅速、正确地进行展开计算和绘制展开图是提高加工质量和劳动生产率的关键，同时也是后续排样下料工艺的基础[3]。它的正确与否对椭圆封头的精确程度和质量起着重要作用[4]。在制作时，进行放大样的工作比较复杂而且不易搞准，尤其是椭圆封头上开的接管孔更不易画准，这时常给生产带来麻烦，并加大了工人的工作量，进而影响设备的质量。本文通过数学建模求出椭圆封头偏交椭圆接管展开公式，设计了椭圆封头偏交椭圆接管展开下料的通用程序，以达到自动展开放样的目的。

1 几何模型与展开原理

1.1 椭圆封头几何形状

椭圆封头是由半个椭圆壳和一段直边圆筒组成的。壳体是被两个曲面所限定的物体，等分壳体各点厚度的曲面称为壳体的中面，中面是回转曲面的壳体称为回转壳体。回转曲面则是一条平面曲线绕同平面的一根轴旋转而成的曲面，并称这条曲线为该回转曲面的母线。回转壳体尤其是回转薄壳的几何形状通常根据中面母线来描述。因此，本文用椭圆封头的中面母线来表示椭圆封头几何形状，并只对其椭圆部分进行研究。

如图1所示，在O-XYZ坐标系中，椭圆封头方程为

1.2 椭圆接管

椭圆封头的轴线与椭圆接管轴线的偏置距离，各轴线夹角如图1（投影图）所示。

如图1所示，在O1-X1Y1Z1坐标系中，椭圆接管方程为

图1 椭圆封头偏交椭圆管

1.3 展开原理

椭圆接管的展开是将其底面分成无穷小的线段，每段线段和相邻两根素线以及相贯线段组成一个四边形，求得这个四边形各边边长，就可展开此四边形，这样逐一展开所有四边形即为椭圆接管的展开图。

可利用“辅助平面法”求得素线长度[5]，即假想用平行的平面分别与椭圆封头和椭圆接管相交；平面与椭圆封头的交线为椭圆，平面与椭圆接管的交线为直线段。然后，求出椭圆与直线段的交点。交点到椭圆接管顶面的距离即为所求素线的长度。

2 展开推导

2.1 假想平面

为便于计算，将椭圆接管方程化为参数形式

根据图1所示，可得假想平面在O-XYZ坐标系中方程为

2.2 平面与椭圆封头交线

根据图1所示，将式(3)代入式(1)得交线在坐标面O-XZ上的投影方程

2.3 平面与椭圆接管交线

根据图1所示, 平面与椭圆接管交线在坐标面O-XZ上的投影方程为

2.4 素线长度

联立式(4)、式(6)求出椭圆与直线段的交点P1在O-XYZ坐标系中的坐标(x1, -f, z1)。

令点P1在O-XYZ坐标系中的坐标为(xp, - f, zp),则有

2.5 展开曲线

为得到椭圆接管的展开曲线，现将其顶面的椭圆分成N份，每份对应的夹角为3600/N。椭圆接管顶面椭圆的展开线为一直线段，为便于绘出展开曲线，以点O为原点、水平方向为x轴建立坐标系oxy，椭圆接管顶面椭圆的展开线与x轴重合。则在椭圆展开线上有N个点与N份对应，第i点的坐标为

第i点所对应素线的长度可用式（7）求出。求出N个点在坐标系oxy中的坐标后，再在相应的素线上去定点，然后依次把这些点连起来，便得到了椭圆接管的展开图。

3 实 例

当给出有关参数a、b、1a、1b、1e、2e、h、θ和φ后，再给出被展开部分所分的份数N，则可以由上面所建立的数学模型编写绘图程序，由计算机循环计算展开图各点坐标，并画出展开图。

图2 是用计算机绘制的展开图例，图中各参数为：a=100、b=80、1a=20、1b=12、1e=0、e2=0、h=85、θ=90º, φ=0º。

图2 图例1

图3是用计算机绘制的展开图例，图中各参数为：a=100、b=80、 a1=20、 b1=12、 e1=10、e2=20、h=85、θ=30º, φ=30º。

图3 图例2

图4是用计算机绘制的展开图例，图中各参数为：a=100、b=80、 a1=20、 b1=12、 e1=10、e2=20、h=85、θ=30º, φ=0º。

图4 图例3

4 结 论

椭圆封头偏交椭圆管的展开是生产实际中常见的问题。本文采用计算机辅助设计法比人工展开法更合理、准确、快捷，不但可减少制造的困难，也使得制件表面平滑光顺。由于建立了展开的数学模型，因此便于用计算机迅速准确地绘制展开图。

由于圆柱面是椭圆柱面的特例，球面是椭圆面的特例，因此也可用本文所提供的方法进行展开图的绘制。

[1]林大钧, 展益彬, 郭 慧. 近似展开方法对椭圆形封头强度影响的研究[J]. 东华大学学报(自然科学版), 2006, 32(4)：18-20.

[2]熊 荣. 老江底电站椭圆蜗壳的制作改进与软件开发[J]. 东方电气评论, 2007, 21(1)：26-28.

[3]杨玉杰. 钣金展开 200例[M]. 北京：机械工业出版社, 2004. 1-3

[4]高炳军, 王洪海. 椭圆封头几何形状讨论及展开面积计算[J]. 石油化工设备, 1999, 28(5)：25-28.

[5]徐宏文, 陈东祥, 王金敏. 画法解析几何[M]. 天津：天津大学出版社, 1993. 116-118.

The Development of Elliptic Pipe on Ellipsoidal Head

WANG Jin-min1, WANG Ai1,2
( 1. Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China;2. Beijing Vocational College of Electronic Science, Beijing 100176, China )

Using the method of mathematical analysis and geometrical theory, the paper introduces the mathematical models about ellipsoidal head and elliptic pipe. The developed equation of the elliptic pipe on ellipsoidal head is derived, and general program for development of elliptic pipe is given. Finally, some examples are given to indicate that the method is simple and convenient in practical use.

computer application; development; geometrical theory; ellipsoidal head; elliptic pipe; intersection

TB 21

A

1003-0158(2011)05-0016-04

2009-11-27

国家自然科学基金资助项目（60975046）

王金敏（1963-），男，河南舞阳人，教授，博士，主要研究方向为智能布局、计算机图形学。