非传统近似下海洋内波的一类WKB近似解

刘永军, 宋金宝, 黄小峰

（1. 中国科学院 海洋研究所, 山东 青岛 266071; 2. 中国科学院 海洋环流与波动重点实验室, 山东 青岛266071; 3. 中国科学院 研究生院, 北京 100039）

非传统近似下海洋内波的一类WKB近似解

刘永军1,2,3, 宋金宝1,2, 黄小峰1,2,3

（1. 中国科学院 海洋研究所, 山东 青岛 266071; 2. 中国科学院 海洋环流与波动重点实验室, 山东 青岛266071; 3. 中国科学院 研究生院, 北京 100039）

在非传统近似（即, 包含地转水平分量在内的完整地转效应）条件下, 用 WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）方法得到了密度连续分层海洋内波的一类 WKB近似解。为了检验所得到的WKB近似解的有效性, 对WKB解各垂向速度模态与基于三点中心差分格式及QR算法的数值计算结果进行了详细比对, 结果表明, 当浮频率N（z）是关于深度z的慢变函数时, WKB近似解与数值结果符合良好。另外, 还比较和分析了非传统近似与传统近似条件下内波解的差别, 结果表明: 地转水平分量一般是不能忽略的, 对海洋内波的生成、演变及消衰的研究有着非常重要的意义。

柯氏力参量; 内波; WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）近似; 标准化; 非传统近似

大量研究表明, 地转水平分量在海洋内波研究中是不可忽略的, 该参量对解释海洋内波传播规律、内波遥感信息提取以及海洋模式中内波参数化问题等具有重要的意义。许多作者在忽略地转水平分量的传统近似条件下得到了不同形式的内波近似解（如,Garrett和 Munk[1-2]; Levine[3]; Blumenthal和 Briscoe[4]等）。近年来, 包含地转水平分量在内的完整地转效应（即, 非传统近似）对海洋内波的影响引起人们的广泛关注（如, Gerkema和Shrira[5]; Kasahara和Gary[6];范植松和方欣华[7-8]等）, 尽管他们用不同的方法探求内波方程组波动形式的渐近解, 但均只在浮频率N是深度z的特定函数模型情况下得出渐近解（如Gerkema和Shrira[5]用浮频率模型得到的Airy形式渐近解, 以及范植松和方欣华[7-8]采用GM72[1-2]的 e指数模型 （） /*0ez b N z=N, 选取地转水平分量f～作为小参数用摄动展开方法得到的渐近解等）, 作者在Gerkema和Shrira[5]及Levine[3]等人研究工作的基础上, 由线性内波控制方程出发, 对密度连续分层海洋, 用WKB近似方法和非传统近似下新的标准化条件, 得到了考虑完整地转效应的一类WKB近似解析解, 并对这一类近似解与相应的数值结果进行了详细的比对。

1 WKB 近似解

密度连续分层的海水, 在无旋、不可压、Boussinesq和完全f-平面近似（也称非传统近似）下,线性内波控制方程组为（Gerkema和 Shrira[5]; Phillips[9]）:

其中: 坐标系原点取在无扰动海面, 坐标轴x,y和z的方向分别向东, 向北和垂直向上,u,v和w分别对应x,y和z轴三个方向的速度分量,b是浮力,p是压力扰动除以平均密度,ζ为内波波面位移,N（z）是Brunt-Väisälä 频率,= 2Ωsin （Ω是地转角速度,φ为纬度）是地转柯氏力垂向分量,= 2Ωcos 是地转柯氏力水平分量。这里, 我们考虑浮频率N（z）是关于深度z的函数（除非另外说明）。在传统近似下, 地转水平分量=0。

海面边界条件采用“刚盖近似”, 海底满足无渗透边界条件, 即

由于方程（1.a）～（1.e）中的系数均与时间t, 水平位置x和y无关, 可将方程（1.a）～（1.e）的解表示成以下形式（Blumenthal和Briscoe[4]）:

方程（7）所表述的ψ（z）只是垂向流速W（χ,z）的一个组成部分, 只有当fs=0时, 方程（7）才是垂向流速W（z）的方程。另外, 非传统近似项在垂向流速指数部分中的存在使流速的相位产生偏移。对于任意分布的浮频率N（z）, 方程（7）和边界条件（8）构成了一个Sturm- Liouville 本征值问题。对特定形式的浮频率分布N（z）, 例如当N（z）为常量时, 这类本征值问题的解析解可直接获得, 而当N（z）是随z而变化的一般函数时, 得到方程组（7）和（8）的精确解非常困难, 人们通常采用一些近似方法。这里, 我们引入WKB近似方法对方程组（7）和（8）进行求解和讨论。

首先, 为表达简便, 令

则方程（7）表示为:

在WKB近似求解过程中, WKB近似展开式（11）对级数截断到S1项要求N（z）随z慢变。这是因为要使WKB近似有效, 必须满足条件:

由于S1（Z）和S0（Z）确定中的积分常数可以合并到通解（11）中, 由（17）和（19）得:

2 ψ j（z）的正交标准化条件

根据Gerkema和Shrira[5], 将第j个模态的垂向速度w表示为:

再根据（4）和（5）可以得到方程（1.a）～（1.e）中其他物理量的模态解, 这些模态解可以用表示为:

这里:uj,vj和ζj分别是x,y方向的水平速度及垂向位移的模态解。为确定（27）式中的系数C1, 参照Garret和 Munk[2]标准化条件公式, 波函数的标准化条件是:

将（27）代入（41）可得:

3 WKB近似解与数值计算结果的比对

为检验WKB近似解（43）的有效性, 我们将其与方程（7）的数值结果进行比对, 比对过程如下:

图1 ψj （z）前三个模态的解析解与对应的数值解的对比Fig. 1 Comparison of the analytical solutions and corresponding numerical results for the first three modes

从图 1中可以看出解析解与其相对应的数值解很好地重合, 这表明本文所采用的三点差分格式是稳定的, 对特征值和特征向量的计算所采用的QR算法是可靠的, 得出的数值解与精确解符合良好。所以,可以同样的方法对WKB近似解和数值解进行比对。

当浮频率N（z）不是常数而是随着深度z变化时,使用相同的方法, 我们对WKB近似解（43）和对应的数值解之间进行比对。作为例子, 这里我们引用Garrett和Munk[2]的大洋密度连续分层浮频率模型:

图2给出了WKB近似解（43）的前四个模态（用实线表示）和每个模态相对应的数值结果（用点线表示）,其中数值解已用离散化标准化条件（56）进行了标准化。由图2可以看出, 对于前两个模态, 偏差比较明显, 但随着模态数的增加, WKB近似解越来越接近其对应的数值解, 与数值解吻合非常好, 也就是说,模态数越高本文中所得到的WKB近似解越精确。

4 非传统近似与传统近似的差别分析

通过对WKB近似解与数值解的比较可知, WKB近似解极其接近其对应的数值解, 因此, 可近似地将（44）作为方程（7）的解析解, 进而可以用来描述内波的一些物理性质和运动规律。

图2 ψj （z）前四个模态的WKB近似解与对应数值解的对比Fig. 2 Comparison of the WKB approximate solutions and the corresponding numerical solutions for the first four modes

本文用近似解析解（44）对非传统近似和传统近似情况进行比较和分析。首先选取近似解（44）的前10个模态为例, 每个模态从0～4 km深度区间选取100个点对应的Wj（z）值, 分别计算出传统近似下和非传统近似下的Wj（z）平均值, 最后得出绝对平均偏差和相对平均偏差。所得出的结果在表1中列出。这些计算结果显示了相对偏差随着模态数的变化的情况。参数选取:（即北纬 22.50）,=π/4 （内波向东北方向传播）。图3共4个子图, 分别对应第1模态,第3模态, 第6模态和第10模态。从图3可清楚地看出, 模态数越高, 非传统近似Wj（z）与传统近似下的Wj（z）相比较的偏差越为明显。

表1 W（z）在传统近似情况下与非传统近似情况下的比较Tab. 1 Comparison of the W（z） under the non-traditional and traditional approximation

5 结论

本文由非传统近似条件下的线性内波控制方程出发, 用WKB近似方法得到了一组WKB近似解的一般表达式, 用导出的非传统近似条件下的标准化条件, 得到了一类 WKB近似解析解, 并通过数值方法对其精确性进行了验证。结果表明, WKB近似解析解与数值结果符合良好。非传统近似与传统近似条件下内波解的差别比较和分析表明, 地转水平分量对内波的影响一般是不应忽略的, 在海洋内波的生成、演变及消衰的过程中有着非常重要的作用。

图3 非传统近似情况下WKB近似解与传统近似下的解之间的比较Fig. 3 Comparison of the WKB approximate solutions under the non-traditional and traditional approximation

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[7] 范植松, 方欣华. 考虑旋转向量水平分量的大洋内波方程的一个渐近解[J]. 海洋学报, 1998, 4: 1-8.

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[9] Phillips O M. 上层海洋动力学[M]. 北京: 科学出版社, 1983: 250-253.

Received: Mar., 16, 2010

Key words:coriolis parameter; internal waves; WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin） approximation; normalization; non-traditional approximation

Abstract:In this paper, a type of WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）approximate analytic solutions was derived by applying the WKB method to the internal waves in continuous density-stratified ocean under the ‘non-traditional approximation’, the complete effect of the earth’ rotation being considered. The vertical velocity modes obtained from the WKB approximate solutions were compared with the numerical results to test the validity of WKB approximate solutions. The study shows that the WKB approximate solutions proposed are consistent with the numerical results, when the buoyancy frequencyN（z）varies gradually with the ocean depthz. In addition, by comparing the WKB solutions for non-traditional and traditional solutions of internal waves, it is found that the horizantal component of the earth’ rotation can not be ignored generally. Our results are important to the study of generation,evolution and dissipation of internal waves in the ocean.

（本文编辑:刘珊珊）

A type of WKB solutions for internal waves under the“non-traditional approximation”

LIU Yong-jun1,2,3, SONG Jin-bao1,2, HUANG Xiao-feng1,2,3
（1. Institute of Oceanology, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 2. Key Laboratory of Ocean Circulation and Waves, the Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 3. Graduate University of the Chinese Academy of Sciences, Beijing 100039, China）

P731.24

A

1000-3096（2011）01-0081-07

2010-03-16;

2010-11-08

中国科学院知识创新工程重大项目（KZCX1-YW-12; 国家自然科学基金创新群体项目（40821004）

刘永军（1970-）, 男, 河北沧州人, 博士研究生, 研究方向:物理海洋学, E-mail: lyj00001@163.com