基于ARMA模型的动力系统缓变数据故障趋势预测

朱晓乐 王 华 符菊梅 陈景鹏 徐腊萍

（1装备指挥技术学院 2中国西昌卫星发射中心）

1 引言

航天科研试验中，飞行数据可以作为故障诊断的一种数值依据，需要对运载火箭飞行数据进行监测，以便及时了解运载火箭的工作状态和工作环境，为指挥控制中心提供决策支持[1]。动力系统作为运载火箭的重要组成部分，其系统参数变化是否正常，能够直接反映运载火箭飞行情况，目前，国内卫星发射中心的飞行状态快速评估系统能够对运载火箭的飞行结果进行快速、科学的评估，如果能够对飞行数据，尤其动力系统缓变数据变化趋势进行实时预测，将可提前预测出潜在的故障趋势，为指挥控制中心进行决策提供更有力的支持。

在众多预测方法中，回归分析预测法主要基于因果关系分析，并且需要大量现有数据进行分析，比较适合事后处理，实时性不够[2]。灰色预测法要求数据资料具有确定性趋势，灵活性不够[3]。神经网络模型预测法需要大量现有数据来训练模型，模型训练辨识完成后才能进行预测，一旦数据序列特征发生较大变化，就要重新学习与建模，灵活性不够，实时性也不够[4]。指数平滑法建模简单，适用范围广，对历史数据的依赖程度比较低，实时性也比较好，但是对数据突变趋势的跟踪能力比较弱，容易导致预测结果滞后[5]。本文采用的ARMA模型是一种时间序列预测方法，它将预测对象随时间变化形成的序列，看作是一个随机时间序列。其基本思想是：一串随时间变化而又相互关联的数字序列，可以用相应的模型加以近似描述，通过对相应数学模型的分析研究，能更本质的认识这些动态数据内结构和复杂性，从而达到在最小方差意义下的最佳预测。

2 ARMA模型的定义

假设｛xi｝为随机时间序列，Box-Jenkins模型理论认为xi的取值不仅与其前p步的各值xi-1，xi-2，…，xi-p有关，而且同前q步的随机干扰ai-1，ai-2，…，ai-q也有关，且均为线性关系，从而得到自回归移动平均模型 ARMA（p，q）模型如下[6]：

令

则上式可简记为

其中B为线性推移算子且有如下性质：

这一模型就称作p阶自回归-q阶滑动平均混合模型，记为 ARMA（p，q）模型，特殊地，若p=0，称作纯滑动平均模型，记为MA（q）;若q=0，称作纯自回归模型，记为 AR（p）；若p=q=0，模型退化为Xt=at，即{Xt}为白噪声序列。

3 ARMA模型辨识和预测

3.1 辨识模型类别与确定阶次。

通过计算时间序列的自相关函数和偏相关函数，根据截尾性和拖尾性来确定是采用AR（p）、MA（q）模型或者 ARMA（p，q）模型。属于 AR（p）过程的时间序列，它的自相关函数随着滞后期k的增加呈现几何衰减形式（即具有拖尾性），而偏相关函数则应在k>p时截止为0；而属于MA（q）过程的时间序列的自相关函数在k>p后为0（即具有截尾性），而偏相关函数或者呈指数衰减，或者呈正弦函数衰减；如果时间序列的样本自相关函数和偏相关函数均不截止，但较快收敛到0，则很可能属于ARMA过程；此外，当自相关函数的尾部随k增加不是趋近于0，而是呈周期起伏，则表明时间序列中含有周期分量。当样本数量较小时，样本自相关函数将会偏离实际的自相关函数，用它们来识别模型，工作量大且效果不好，因此，采用赤池弘次提出的信息量准则（称为AIC准则）来判断模型阶次p和q。

定义模型的AIC统计量：

在模型阶次确定的情形下，进行模型参数的估计。模型参数系数确定一般分两步完成：先用矩估计或逆函数法粗估计，再用粗估计的值作为叠代初值进行最小二乘法精估计。两步估计完成后，则得到具体ARMA模型。由于ARMA（p，q）模型参数的估计非常复杂，论文在进行数据仿真的时候直接调用MATLAB自带函数，在此不再介绍参数估计的数学推导[7]。

3.2 模型检验和数据预测

数据序列通过平稳性检验，并建立了相应的ARMA模型之后，为考核所建模型的优劣，一般还需检验ARMA模型残量e1，e2，…，en是不是白噪声。也就是说，如果残量经检验确定是白噪声序列，则认为模型是合理的，否则应当进一步改进模型。

获得较为满意的时间序列模型后，采用最小方差线性估计的原则对飞行数据进行预报。用记号表示为时间序列…，Z-1，Z0，Z1，…，Zk，…，Zk+L，其中k≥1，L≥1。若已观测到Z1，…，Zk的数值，要估计Z k+L的数值，称为在k时刻作L步预报，Zk+L的估计值记为。

3.3 预测结果分析

预测结果分析包括评定预测的精度，以及评价预测模型的合理性。

目前，对预测的精度评定主要基于误差理论，即用平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）和均方误差（Mean Squared Error，MSE）来衡量[8]。

首先，计算预测误差et

然后分别计算平均绝对误差和均方误差，其计算公式如下。

对预测模型的合理性评价主要从两个方面来衡量：预测精度和预测跟踪速度。

4 趋势预测实例

4.1 预测对象

运载火箭飞行数据多达几百甚至上千路，这些数据按其频率初步可以分为缓变参数（频率在10Hz以内）和速变参数（频率远大于10Hz）两种。速变参数变化速度快，不同时刻的数据相关性小，对其进行趋势预测意义不大。当然也不是所有缓变参数都适合进行趋势预测，只有那些连续缓变型参数，例如供电电压参数，压力参数，过载参数等，由于数据变化的连续性，前后时刻的数据间存在一定的相关性，对它们进行预测有工程实践价值[1]。实时飞行数据中，动力系统压力参数的数据曲线特征很有代表性，下面以这种类型的参数为例，进行趋势预测仿真。

图1是一次飞行试验任务中采集压力数据绘制成的曲线，图2是引入一个陡然下降的故障趋势后的数据曲线。

图1 原始数据曲线

图2 含故障趋势的数据曲线

4.2 预测步骤

预测实现步骤：

（1）读入数据；

（2）对原始数据进行零均值化，平稳化处理，然后进行分析；

（3）分别计算置信度为95%的自相关函数和偏相关函数，并画出其自相关函数和偏相关函数曲线；

（4）由自相关函数拖尾性和偏相关函数的截尾性，初步判断ARMA模型的阶次；

（5）在步骤（4）的基础上建立一系列模型，然后根据AIC准则判别最优模型；

（6）对数据进行一步预测，并计算预测误差，进行拟和误差的自相关检验。

4.3 预测结果

理论上，当p，q的阶次越高时，平均绝对误差和均方误差越小，也就意味着预测精度越好。实际情况是当p，q达到一定阶次时预测精度不再显著的提高，但计算量却以指数上升，这样必定会影响预测的跟踪速度。为了克服这一问题，模型阶次的确立采用了AIC准则。

按照4.2中预测实现步骤对引入故障趋势后的压力参数进行趋势预测，由图4自相关函数、图5偏相关函数确定了基本模型参数ARMA（41，8），然后建立了九个模型参数 ARMA（40，7），ARMA（40，8），ARMA（40，9），ARMA（41，7），ARMA（41，8），ARMA（41，9），ARMA（42，7），ARMA（42，8），ARMA（42，9）。分别计算九个模型参数所对应的AIC值，如表1所示。

表1 不同阶次对应的AIC值

根据AIC准则选取了最优模型参数ARMA（41，7）建立了模型：

最终采用上述模型对参数进行了趋势预测，得到预测曲线图6，误差函数曲线图7，误差自相关系数曲线图8。预测模型的平均绝对误差MAE=7.7137×e-4，均方误差 MSE=1.3992×e-6。

4.4 预测结果分析

对一步预测结果图6、图7、图8进行分析可以看出：

图3 去除均值后的数据曲线

图4 自相关函数

图5 偏相关函数

图6 预测曲线

图7 误差函数

图8 误差自相关系数

（1）模型的跟踪速度较好，在引入剧烈变化趋势时，能够快速响应时间序列数据的急剧变化，快速跟踪与自修正能力比较强，使得预测值曲线与实测值曲线拟合得很好，达到95.77%；

（2）模型的预测精度比较高，平均绝对误差MAE=7.7137×e-4，均方误差 MSE=1.3992×e-6；

（3）模型的预测误差函数和预测自相关函数显示误差序列符合白噪声序列的要求，表明预测模型是适合的；

（4）当预测步数增大时，预测时间无大影响，但是预测的平均误差和均方误差都变大，不同预测步数的误差结果如表2所示。

表2 不同预测步数的误差分析表

5 结束语

论文结合航天科研试验，利用ARMA模型对运载火箭飞行数据中的动力系统缓变数据进行了实时趋势预测，数据仿真分析表明，ARMA模型预测方法在预测精度与预测跟踪速度方面都有不错的效果，对数据表现出的故障趋势，在保证较高预测精度的同时能够快速跟踪预测，为计算机辅助决策和飞行数据的自动判读提供了一种解决方法。

［1］刘蕴才.导弹卫星测控系统工程（下）［M］.北京:国防工业出版社，1996:138-157.

［2］周纪芗.实用回归分析方法［M］.上海:上海科学技术出版社，1990.

［3］袁嘉祖.灰色系统理论及其应用［M］.北京:科学出版社，1991.

［4］汪成亮，宋军，胡炳权，张勤.智能神经网络在时序信号预测上的应用［J］.重庆大学学报，2003，26（1）:34-36.

［5］余国浩，蔡远文.自适应指数平滑法用于遥测数据实时趋势预测研究［J］.装备指挥技术学院学报，2007，08:48-51.

［6］韩路跃，杜行检.基于MATLAB的时间序列建模与预测［J］.计算机仿真，2005.04:105-107

［7］王沫然.MATLAB与科学计算［M］.北京:电子工业出版社，2004.

［8］张有为.预测的数学方法[M].北京:国防工业出版社，1991:12-14.