基于Logistic映射和Arnold置乱的数字水印算法

张钉铭，雷仲魁

（南京航空航天大学 电子信息工程学院，江苏 南京 210016）

随着计算机网络和通信技术的飞速发展，数字媒体（包括数字图像、数字视频、数字音频）已得到了广泛的应用，随之而来的数字媒体的信息安全、知识产权保护和认证等问题也变得日益突出。传统的加密系统在数据传输过程中可以起到保护作用，但数据一旦被接收并解密，其保护作用也随之消失，数字水印作为传统加密方法的有效补充手段，是一种可以在开放的网络环境下保护版权和认证来源及完整性的技术，近年来已引起了人们的高度重视[1]。

数字水印算法按照水印的嵌入位置可以分为空间域和变换域两类。变换域方法是通过改变变换域系数嵌入水印，包括离散傅里叶变换，离散余弦变换，离散小波变换等。空间域水印算法具有复杂度低、实时性好等特色，但是鲁棒性较差，主要用于设计脆弱水印和半脆弱水印；变换域水印算法的鲁棒性较强且容量较大，主要用于设计鲁棒水印。由于数字水印的嵌入和提取算法对水印信息的影响非常大，一旦嵌入和提取算法被破解，攻击者很容易实现对水印信息破坏、篡改、移除或者利用伪造水印进行盗版[2]。另外，有意义水印的相关性很高，不适合直接嵌入，且隐蔽性较差。因而在水印信息嵌入前的置乱，不但可以提高水印信息的安全性，同时可以去除水印信息的相关性，增强水印的鲁棒性[3]。基于上述考虑，提出了一种基于Logistic映射和Arnold变换的DCT域数字水印算法，通过Arnold变换对水印信息进行置乱处理，同时利用Logistic映射选择水印的嵌入位置，并利用了变换域方法的鲁棒性。通过实验证明，该算法不仅具有较好的隐蔽性，同时也具有较强的鲁棒性。

1 Logistic映射

混沌现象是在非线性动态系统中出现的确定性、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始值有及其敏感的依赖性。利用这一性质，混沌映射可提供数量众多、非相关、类随机而又确定，易于产生和再生的信号。

Logistic映射是一类简单却被广泛研究的混沌动力系统。用非线性差分方程描述：

其中 0≤u≤4 为分支系数，x（n）∈（0，1）。 当 3.569 945 6 ＜u≤4时，Logistic映射工作于混沌状态[4]。理论上已经证明了由两个不同初值 x0和y0生成的两个混沌序列 x0，x1，...，xn和y0，y1，...yn的互相关为零，这体现了Logistic混沌映射对初值的极度敏感性。

2 Arnold变换

Arnold变换（Cat mapping）是在遍历理论研究中提出的一种变换。对于数字图像来说，可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值，这样可以得到一个表示图像的矩阵。矩阵中对应点处得灰度值或RGB颜色分量值。令数字图像的像素坐标 x，y∈{0，1，2，...，N－1}，于是 Arnold 变换为[5]：

N代表数字图像的宽度和高度。经过Arnold变换后的图像会变得混乱不堪，然而继续使用Arnold变换，将会出现一幅与原图相同的图像，即Arnold变换具有周期性。这样利用Arnold变换实现了信息的初步隐藏，从而增强了系统的安全性和保密性，同时该算法实现了随机置乱的不可恢复性[6]。

3 DCT域数字水印算法

3.1 利用Arnold对图像进行置乱

这里的水印图像使用64×64的二值图像，如图1所示。利用Arnold变换对图像进行置乱，使用置乱的次数N（14）除以100作为生成混沌序列的种子。置乱后的图像如图2所示，同时，进一步实验证明，对于64×64的二值图像，经过48次Arnold变换后恢复原图像。该置乱图像经过34次变换后恢复原图。

图1 水印图像Fig.1 Watermark image

图2 置乱后的图像Fig.2 Scrambling image

3.2 水印嵌入过程

水印嵌入的基本思想是通过调整图像块消息中两对4个DCT系数的相对大小来对水印信息进行编码。用（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3）（u4，v4）来表示这两对系数的索引，算法描述如下：首先利用一个阈值将生成的混沌序列变为二值序列，对于每一个DCT系数块，如果生成的混沌序列值为1时，若嵌入二值图像为 1，则（u1，v1）＞（u2，v2）；否则，（u1，v1）＜（u2，v2）；如果生成的混沌序列值为0时，若嵌入二值图像为1，则（u3，v3）＞（u4，v4）；否则，（u3，v3）＜（u4，v4）。

为与JPEG压缩方案一致，选择8×8的图像块。对于块中4个系数的选择，应该选择使得相应的系数在图像经过处理后保持不变。同时由于人眼对低频区比较敏感，对高频区虽然不敏感，将水印信息嵌入到图像的高频分量中，能保证水印的不可见性，但各种图像处理操作对图像高频部分的损坏比较大，鲁棒性较差。综合以上因素。把水印嵌入到图像DCT域的中频分量中，以期能平衡水印的不可见性和鲁棒性。 综合上述考虑，选择（5，2），（4，3）和（2，3），（4，1）这两对系数。

Step1.对水印图像W进行N次Arnold变换，得到嵌入水印图像W′；

Step2.对载体图像进行8×8的分块，对每一个分块进行二维DCT变换；

Step3.利用N/100做为初值，用Logistic映射生成一维的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step4.选取一个合适的值作为分界，使得所得到的混沌序列变为一个二值序列。

Step5.对于第 i个8×8的 DCT系数块，如果 xi=1，若对应的二值图像值为 1，则使得块中的（5，2）＞（4，3），否则（5，2）＜（4，3）； 如果 xi=0； 若对应的二值图像为 1， 则使得 （2，3）＞（4，1），否则使得（2，3）＜（4，1）；

Step（6）.对嵌入水印的每一个DCT块做二维DCT反变换得到嵌入水印后的图像。

3.3 水印提取过程

Step1.对带有水印的图像进行8×8分块，对每一个分块进行二维DCT反变换

Step2.利用N作为初值，用Logistic映射生成一维的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step3.利用N/100做为初值，用Logistic映射生成一维的混沌序列 xi，i=1，2，3...M；

Step4.如果 xi=1，若（5，2）＞（4，3），则相应的水印值为1，否则为 0；如果 xi=0，若（2，3）＞（4，1），则相应的水印值为1，否则为 0；

Setp5.对提取出的图像进行48－N次arnold变换，最终得到水印图像。

3.4 实验仿真结果

使用512×512的lena图像作为载体进行水印信息的嵌入。原始图像、嵌入水印后的图3所示。对嵌入水印后的图像进行剪裁、中值滤波、加高斯白噪声、以及JPEG压缩后等常规的水印攻击后，提取出来得水印的水印结果如图4所示，其中中值滤波采用3×3的中值滤波器，高斯噪声均值为0，方差为0.01.由实验可见，提取出来的二值水印图像仍然清晰可见。

图3 无水印攻击情况下的实验结果Fig.3 Experimental result while there is no watermark attack

水印算法的评价包括隐蔽性和鲁棒性评价两部分。通常采用峰值信噪PSNT比客观地评价隐蔽性，一般认为PSNT值越大，水印保真度越高。鲁棒性评价一般由原始水印与提取水印间的差异（相似度）来衡量。采用归一化相似度NC作为评价参数，NC的值在0，1之间，值越大，原始水印与提取出来的水印相似性就越好。实验结果如表1所示。

图4 水印攻击情况下的实验结果Fig.4 Experimental result while there is watermark attack

表1 抗攻击结果Tab.1 Result against attack

4 结 论

提出了一种基于Logistic映射和Arnold变换的图像盲水印算法，实现了对二值水印图像的嵌入。该算法利用混沌序列非周期、类随机的特性，提高了水印嵌入算法的鲁棒性。同时利用Arnold变换对水印信息进行置乱，提高了算法的安全性。通过实验仿真验证了该算法的有隐蔽性，同时通过大量的水印攻击实验可以表明，该算法同时具有很好的鲁棒性。且由于水印的盲提取，具有很好的应用价值。

[1]李赵红，侯建军 基于Logistic混沌映射的DCT域脆弱数字水印算法[J].电子学报 2006，34（12）：2134-2137.

LI Zhao-hong， HOU Jian-jun. DCT-Domain fragile watermarking algorithm based on logistic maps[J].Acta Electronica Sinica，2006，34（12）：2137-2137.

[2]张有矿，杨峰.一种基于混沌映射与SVD的数字水印算法[J].信息技术与信息化，2010（6）：46-48.

ZHANG You-kuang，YANG Feng.A digital watermarking algorithm based on chaos and SVD[J].Information Technology&Information 2010（6）：46-48.

[3]刘方.变换域加密图像数字水印算法研究[D].济南：山东师范大学，2009：1-65.

[4]许宪东，季振洲.DCT水印中拉伸系数与嵌入位置的选择[J].计算机应用于软件，2006，23（9）：124-127.

XU Xian-dong，JI Zhen-zhou. The choice of scaling parameterαand embedding position in DCT watermark[J].Computer Application and software，2006，23（9）：124-127.

[5]倪蓉蓉，阮秋琦.利用Arnold对称性变换的图像信息隐藏算法[J].北方交通大学学报，2002，26（2）：25-28.

NI Rong-rong，RUAN Qiu-qi.A digital imagehiding algorithm using Arnold transform [J].Journal of Northern Jiaotong University，2002，26（2）：25-28.

[6]丁玮，闫伟齐，齐东旭.基于Arnold变换的数字图像置乱技术 [J].计算机辅助设计与图形学学报，2001，13（4）：338-341.

DING Wei， YAN Wei-qi， QI Dong-xu.Digital image scrambling technology based on Arnold transformation[J].Journal ofComputer-Aided Design&ComputerGraphics，2001，13（4）：338-341.